Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 39 стр.

38                                  Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




           Рис. 7. Разложение вектора по базису, x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 .


представить в виде
                          x = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3
(см. рис. 7). Будем писать также x = (x1 , x2 , x3 ).
    Говорят, что векторы e1 , e2 , e3 образуют базис пространства. Чис-
ла x1 , x2 , x3 называют координатами вектора в этом базисе. Они од-
нозначно определяются вектором x (если базис фиксирован). Дей-
ствительно, если предположить, что возможно еще одно разложение
                              b1 e1 + x
                            x=x       b2 e2 + x
                                              b3 e3 ,
то
               x1 − x1 )e1 + (b
              (b              x2 − x2 )e2 + (b x3 − x3 )e3 = 0.
Следовательно, векторы (b   x1 − x1 )e1 , (b
                                           x2 − x2 )e2 , (b
                                                          x3 − x3 )e3 образуют
треугольник и, значит, лежат в одной плоскости (см. рис. 8, a), чего
не может быть, так как по условию векторы e1 , e2 , e3 некомпланарны.
    Особую роль играет базис, составленный из трех попарно ортого-
нальных векторов единичной длины (см. рис. 8, b). Они образуют так
называемый декартов базис. Мы будем обозначать его через i1 , i2 , i3 .
Координаты вектора в этом базисе есть его декартовы координаты.
    Базис, составленный из трех произвольных некомпланарных век-
торов иногда называют обобщенным декартовым базисом.
     4. Представление алгебраических операций через координаты.
Пусть α — произвольное число. Используя свойство дистрибутивно-
сти, получим
                 αx = (αx1 )e1 + (αx2 )e2 + (αx3 )e3 ,
т. е. при умножении вектора на число координаты вектора умножа-
ются на это же число. Будем также писать
                              αx = (αx1 , αx2 , αx3 ).