Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 44 стр.

§ 2. Векторная алгебра                                                     43


    3) вектор z направлен так, что тройка векторов x, y, z имеет ту
же ориентацию, что и фиксированный выше базис пространства (см.
рис. 11, b).
    Векторное произведение векторов x, y будем обозначать че-
рез [x, y].
    Отметим, что |[x, y]| равен площади параллелограмма, построен-
ного на векторах x, y.
    Ясно, что необходимым и достаточным условием коллинеарности
двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
    Векторное произведение обладает следующими свойствами:
    1) [x, y] = −[y, x] для любых векторов x, y — антисимметрич-
ность (кососимметричность);
    2) [αx, y] = α[x, y] для любых векторов x, y и любого веществен-
ного числа α — однородность по первому аргументу;
    3) [x + y, z] = [x, z] + [y, z] для любых векторов x, y — аддитив-
ность по первому аргументу.
    Убедимся в справедливости свойств 1)–3). Проверка свойств 1), 2)
аналогично проверке свойств 1), 2) скалярного произведения. При
этом надо учесть, что если в тройке векторов поменять местами пер-
вые два вектора, то тройка меняет ориентацию на противоположную;
если умножить первый вектор на отрицательное число, то тройка так-
же меняет ориентацию на противоположную.
    Для проверки третьего свойства заметим, что при z = 0 оно
выполняется тривиальным образом. Если z 6= 0, то, поделив равен-
ство 3) на |z| и используя затем свойство 2), нетрудно убедиться, что
достаточно доказать справедливость равенства
                         [x + y, e] = [x, e] + [y, e],                  (7.1)
где e — произвольный вектор единичной длины. Построение вектор-
ного произведения [x, e] можно описать следующим образом. Снача-
ла вектор x проектируется на плоскость, ортогональную вектору e.
Затем полученный вектор поворачивается в этой плоскости так, что-
бы он стал ортогональным вектору x и при этом получилась тройка
нужной ориентации (см. рис.12, a). Заметим, что возможность та-
кого описания построения векторного произведения обеспечивается
хорошо известным равенством sin α = cos(π/2 − α). После выполне-
ния указанных геометрических построений равенство (7.1) становит-
ся очевидным (см. рис. 12, b).
    Получим теперь выражение для векторного произведения векто-
ров x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y = y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 через их координаты.
Последовательно используя свойства 1)–3) и учитывая, что [z, z] = 0