Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная алгебра 47
Показать, что векторы e
1
, e
2
, e
3
некомпланарны, причем (e
k
, e
l
) = δ
kl
.
Говорят, что векторы e
1
, e
2
, e
3
образуют взаимный базис. Ба-
зис e
1
, e
2
, e
3
называют при этом основным. Равенство (7.2) факти-
чески дает правило вычисления компонент вектора [x, y] при разло-
жении его по взаимному базису, если известны компоненты векторов
при разложении по основному базису.
Упражнение. Вычислить скалярное произведение (x, y), разла-
гая вектор x по основному базису, а y — по взаимному.
9. Примеры задач, решаемых методами векторной алгебры.
1) Расстояние между двумя точками. Даны точки x = (x
1
, x
2
, x
3
)
и y = (y
1
, y
2
, y
3
). Найти расстояние между ними.
Ясно, что искомое расстояние равно длине вектора y − x (см.
рис. 5, b). Но, как мы знаем, y − x = (y
1
− x
1
, y
2
− x
2
, y
3
− x
3
), и по
формуле (6.1) получаем
|y − x| =
p
(x − y, x − y) =
v
u
u
t
3
X
k,l=1
(x
k
− y
k
)(x
l
− y
l
)(e
k
, e
l
). (9.1)
В декартовых координатах
|y − x| =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ (x
3
− y
3
)
2
.
2) Уравнение сферы. Написать уравнение сферы радиуса R с цен-
тром в точке x
0
= (x
0
1
, x
0
3
, x
0
3
).
По определению сфера — это множество всех точек пространства,
равноудаленных от данной. Следовательно, для любой точки x, ле-
жащей на сфере, |x − x
0
| = R, или
|x − x
0
|
2
= R
2
.
Это и есть уравнение сферы. Запишем его в координатной форме.
Используя формулу (9.1), получаем
3
X
k,l=1
(x
k
− x
0
k
)(x
l
− x
0
l
)(e
k
, e
l
) = R
2
.
В декартовых координатах
(x
1
− x
0
1
)
2
+ (x
2
− x
0
2
)
2
+ (x
3
− x
0
3
)
2
= R
2
.
§ 2. Векторная алгебра                                                     47


Показать, что векторы e1 , e2 , e3 некомпланарны, причем (ek , el ) = δkl .
    Говорят, что векторы e1 , e2 , e3 образуют взаимный базис. Ба-
зис e1 , e2 , e3 называют при этом основным. Равенство (7.2) факти-
чески дает правило вычисления компонент вектора [x, y] при разло-
жении его по взаимному базису, если известны компоненты векторов
при разложении по основному базису.
    Упражнение. Вычислить скалярное произведение (x, y), разла-
гая вектор x по основному базису, а y — по взаимному.
    9. Примеры задач, решаемых методами векторной алгебры.
    1) Расстояние между двумя точками. Даны точки x = (x1 , x2 , x3 )
и y = (y1 , y2 , y3 ). Найти расстояние между ними.
    Ясно, что искомое расстояние равно длине вектора y − x (см.
рис. 5, b). Но, как мы знаем, y − x = (y1 − x1 , y2 − x2 , y3 − x3 ), и по
формуле (6.1) получаем
                                    v
                                    u 3
                p                   uX
   |y − x| = (x − y, x − y) = t          (xk − yk )(xl − yl )(ek , el ). (9.1)
                                          k,l=1

В декартовых координатах
                   p
          |y − x| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 .
   2) Уравнение сферы. Написать уравнение сферы радиуса R с цен-
тром в точке x0 = (x01 , x03 , x03 ).
   По определению сфера — это множество всех точек пространства,
равноудаленных от данной. Следовательно, для любой точки x, ле-
жащей на сфере, |x − x0 | = R, или
                                  |x − x0 |2 = R2 .
Это и есть уравнение сферы. Запишем его в координатной форме.
Используя формулу (9.1), получаем
                   3
                   X
                           (xk − x0k )(xl − x0l )(ek , el ) = R2 .
                   k,l=1

В декартовых координатах
               (x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 + (x3 − x03 )2 = R2 .

Страницы