Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
т. е. p = (3/5, −4/5), d = 26/5. Теперь вычислим δ = 3/5 + 8/5 − 26/5 = −3. Расстояние
точки от прямой равно трем.
2) Даны две прямые l
1
и l
2
, определяемые уравнениями
a
11
x
1
+ a
12
x
2
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
.
(2.1)
Требуется исследовать взаимное расположение этих прямых, т. е. вы-
яснить, пересекаются ли эти прямые и указать точку их пересечения.
Эта задача была нами полностью решена в § 1, с. 21. Действительно,
фактически, поставленная задача эквивалентна исследованию усло-
вий разрешимости системы линейных уравнений (2.1). Здесь надо
различать три случая.
Первый случай. Определитель
∆ =
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
не равен нулю. Тогда система уравнений (2.1) имеет единственное ре-
шение x
1
, x
2
при любых b
1
, b
2
. Точка x = (x
1
, x
2
) — точка пересечения
прямых.
Второй случай. Определитель ∆ равен нулю, но определитель
∆
1
=
¯
¯
¯
¯
b
1
a
12
b
2
a
22
¯
¯
¯
¯
,
а следовательно, и определитель
∆
2
=
¯
¯
¯
¯
a
11
b
1
a
21
b
2
¯
¯
¯
¯
отличны от нуля. Тогда система (2.1) не имеет решений, т. е. пря-
мые l
1
, l
2
параллельны.
Третий случай. Все три определителя ∆, ∆
1
, ∆
2
— нули. Это
условие эквивалентно существованию числа α 6= 0 такого, что
a
21
= αa
11
, a
22
= αa
12
, b
2
= αb
1
Система (2.1) имеет бесконечное множество решений (фактически,
уравнения системы совпадают). Прямые l
1
, l
2
совпадают.
3) Найти угол между прямыми y = k
1
x + b
1
и y = k
2
x + b
2
(см.
рис. 18). Так как ϕ = α
2
− α
1
, tgα
1
= k
1
, tgα
2
= k
2
, то
tgϕ = tg(α
2
− α
1
) =
tgα
2
− tgα
1
1 + tgα
2
tgα
1
=
k
2
− k
1
1 + k
1
k
2
.
52                                  Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


т. е. p = (3/5, −4/5), d = 26/5. Теперь вычислим δ = 3/5 + 8/5 − 26/5 = −3. Расстояние
точки от прямой равно трем.
     2) Даны две прямые l1 и l2 , определяемые уравнениями
                               a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
                                                                                (2.1)
                               a21 x1 + a22 x2 = b2 .
Требуется исследовать взаимное расположение этих прямых, т. е. вы-
яснить, пересекаются ли эти прямые и указать точку их пересечения.
Эта задача была нами полностью решена в § 1, с. 21. Действительно,
фактически, поставленная задача эквивалентна исследованию усло-
вий разрешимости системы линейных уравнений (2.1). Здесь надо
различать три случая.
   Первый случай. Определитель
                               ¯         ¯
                               ¯ a11 a12 ¯
                          ∆ = ¯¯         ¯
                                 a21 a22 ¯
не равен нулю. Тогда система уравнений (2.1) имеет единственное ре-
шение x1 , x2 при любых b1 , b2 . Точка x = (x1 , x2 ) — точка пересечения
прямых.
    Второй случай. Определитель ∆ равен нулю, но определитель
                                    ¯        ¯
                                    ¯ b1 a12 ¯
                            ∆1 = ¯¯          ¯,
                                      b2 a22 ¯
а следовательно, и определитель
                                ¯        ¯
                                ¯ a11 b1 ¯
                          ∆2 = ¯¯        ¯
                                  a21 b2 ¯
отличны от нуля. Тогда система (2.1) не имеет решений, т. е. пря-
мые l1 , l2 параллельны.
   Третий случай. Все три определителя ∆, ∆1 , ∆2 — нули. Это
условие эквивалентно существованию числа α 6= 0 такого, что
                     a21 = αa11 ,    a22 = αa12 ,       b2 = αb1
Система (2.1) имеет бесконечное множество решений (фактически,
уравнения системы совпадают). Прямые l1 , l2 совпадают.
    3) Найти угол между прямыми y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 (см.
рис. 18). Так как ϕ = α2 − α1 , tgα1 = k1 , tgα2 = k2 , то
                                         tgα2 − tgα1    k2 − k 1
              tgϕ = tg(α2 − α1 ) =                    =            .
                                        1 + tgα2 tgα1   1 + k 1 k2

Страницы