Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Плоскости и прямые в пространстве 55
Рис. 20. Точки пересечения плоскости с осями координат.
Задачи
1) Преобразовать уравнение (1.7) к нормальному виду.
Ответ:
p =
1
√
a
2
+ b
2
+ c
2
(a, b, c), q = −
d
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
2) Показать, анализируя общее уравнение прямой, что:
1. если a = 0, b = 0, то плоскость параллельна координатной
плоскости x
1
,
2
,
2. если a = 0, то плоскость параллельна оси x
1
,
3. если d = 0, то плоскость проходит через начало координат.
3) Показать, что α = −d/a, β = −d/b, γ = −d/c — координаты
точек пересечения плоскости с осями координат x
1
, x
2
, x
3
(см. рис. 20),
проанализировать случаи, когда соответствующие знаменатели — ну-
ли.
4) Показать, что косинус угла ϕ между плоскостями, задаваемы-
ми уравнениями
a
1
x
1
+ b
1
x
2
+ c
1
x
3
+ d
1
= 0, a
2
x
1
+ b
2
x
2
+ c
2
x
3
+ d
2
= 0,
можно вычислить по формуле
cos ϕ =
a
1
a
2
+ b
1
b
2
+ c
1
c
2
p
a
2
1
+ b
2
1
+ c
2
1
p
a
2
2
+ b
2
2
+ c
2
2
. (1.8)
5) Используя уравнение (1.6), написать уравнение плоскости, про-
ходящей через три заданные точки. Проанализировать случай, когда
эти точки лежат на одной прямой.
6) Используя нормальное уравнение плоскости (1.2), найти откло-
нение данной точки x
0
от плоскости.
Пример. Даны плоскости π
1
и π
2
, описываемые уравнениями
2x
1
− x
2
+ 2x
3
− 3 = 0, (1.9)
§ 4. Плоскости и прямые в пространстве                                        55




            Рис. 20. Точки пересечения плоскости с осями координат.


    Задачи
    1) Преобразовать уравнение (1.7) к нормальному виду.
    Ответ:
                    1                              d
          p= √               (a, b, c), q = − √             .
                a2 + b2 + c2                   a2 + b2 + c2
    2) Показать, анализируя общее уравнение прямой, что:
    1. если a = 0, b = 0, то плоскость параллельна координатной
плоскости x1 , 2 ,
    2. если a = 0, то плоскость параллельна оси x1 ,
    3. если d = 0, то плоскость проходит через начало координат.
    3) Показать, что α = −d/a, β = −d/b, γ = −d/c — координаты
точек пересечения плоскости с осями координат x1 , x2 , x3 (см. рис. 20),
проанализировать случаи, когда соответствующие знаменатели — ну-
ли.
    4) Показать, что косинус угла ϕ между плоскостями, задаваемы-
ми уравнениями
      a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 = 0,    a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 = 0,
можно вычислить по формуле
                                  a 1 a 2 + b 1 b2 + c 1 c2
                  cos ϕ = p                    p              .            (1.8)
                              a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22
    5) Используя уравнение (1.6), написать уравнение плоскости, про-
ходящей через три заданные точки. Проанализировать случай, когда
эти точки лежат на одной прямой.
    6) Используя нормальное уравнение плоскости (1.2), найти откло-
нение данной точки x0 от плоскости.
    Пример. Даны плоскости π1 и π2 , описываемые уравнениями

                            2x1 − x2 + 2x3 − 3 = 0,                         (1.9)

Страницы