Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и плоскостей в пространстве 59
Рис. 24. К определению точки пересечения прямой и плоскости (a). Прямая l, парал-
лельная плоскости π (b).
1) ae
1
+ be
2
+ ce
3
6= 0. Это означает, что прямая l не параллельна
плоскости π (почему?). Из уравнения (4.1) находим
θ = θ
1
= −
ax
0
1
+ bx
0
2
+ cx
0
3
+ d
ae
1
+ be
2
+ ce
3
.
Точка x
1
= x
0
+ θ
1
e — точка пересечения прямой и плоскости (см.
рис. 24, a).
2) ae
1
+ be
2
+ ce
3
= 0, но ax
0
1
+ bx
0
2
+ cx
0
3
+ d 6= 0. Уравнение (4.1)
не имеет решений. Прямая l проходит через точку x
0
, не принадле-
жащую плоскости π, параллельно плоскости π (см. рис. 24, b).
3) ae
1
+be
2
+ce
3
= 0, ax
0
1
+bx
0
2
+cx
0
3
+d = 0. Любое θ ∈ (−∞, ∞) —
решение уравнения (4.1). Прямая l лежит в плоскости π.
5. Выяснить условия, при которых две прямые l
1
и l
2
, задаваемые
уравнениями
x = x
1
+ θe
1
, θ ∈ (−∞, ∞),
x = x
2
+ θe
2
, θ ∈ (−∞, ∞),
лежат в одной плоскости.
Решение. Если прямые l
1
и l
2
лежат в одной плоскости, то век-
торы x
2
− x
1
, e
1
, e
2
лежат в одной плоскости (см. рис. 25, a), иначе
говоря, компланарны. Обратно, если векторы x
2
− x
1
, e
1
, e
2
компла-
нарны, то прямые l
1
, l
2
лежат в одной плоскости. Используя резуль-
таты п. 8, с. 45, непосредственно получаем, что для принадлежности
прямых l
1
, l
2
одной и той же плоскости необходимо и достаточно,
чтобы смешанное произведение (x
2
− x
1
, e
1
, e
2
) равнялось нулю.
§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и плоскостей в пространстве 59




Рис. 24. К определению точки пересечения прямой и плоскости (a). Прямая l, парал-
лельная плоскости π (b).


   1) ae1 + be2 + ce3 6= 0. Это означает, что прямая l не параллельна
плоскости π (почему?). Из уравнения (4.1) находим
                                 ax01 + bx02 + cx03 + d
                      θ = θ1 = −                        .
                                   ae1 + be2 + ce3
Точка x1 = x0 + θ1 e — точка пересечения прямой и плоскости (см.
рис. 24, a).
    2) ae1 + be2 + ce3 = 0, но ax01 + bx02 + cx03 + d 6= 0. Уравнение (4.1)
не имеет решений. Прямая l проходит через точку x0 , не принадле-
жащую плоскости π, параллельно плоскости π (см. рис. 24, b).
    3) ae1 +be2 +ce3 = 0, ax01 +bx02 +cx03 +d = 0. Любое θ ∈ (−∞, ∞) —
решение уравнения (4.1). Прямая l лежит в плоскости π.
   5. Выяснить условия, при которых две прямые l1 и l2 , задаваемые
уравнениями
                 x = x1 + θe1 , θ ∈ (−∞, ∞),
                       x = x2 + θe2 ,    θ ∈ (−∞, ∞),
лежат в одной плоскости.
    Решение. Если прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости, то век-
торы x2 − x1 , e1 , e2 лежат в одной плоскости (см. рис. 25, a), иначе
говоря, компланарны. Обратно, если векторы x2 − x1 , e1 , e2 компла-
нарны, то прямые l1 , l2 лежат в одной плоскости. Используя резуль-
таты п. 8, с. 45, непосредственно получаем, что для принадлежности
прямых l1 , l2 одной и той же плоскости необходимо и достаточно,
чтобы смешанное произведение (x2 − x1 , e1 , e2 ) равнялось нулю.

Страницы