Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и плоскостей в пространстве 61
Найдем теперь направляющий вектор e этой прямой. Вектор e ор-
тогонален каждому из векторов a
1
и a
2
, следовательно, можно взять
его равным их векторному произведению
e = [a
1
, a
2
] =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
1
i
2
i
3
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (6.2)
Таким образом, найдены точка x
0
, принадлежащая прямой l и век-
тор e, параллельный этой прямой, следовательно уравнение прямой l
можно записать, например, в виде (2.1), с. 56.
Рис. 26. К выводу уравнения прямой, по которой пересекаются плоскости π
1
, π
2
.
Пример. Найдем уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости π
1
, π
2
,
определяемые уравнениями (1.9), (1.10), с. 56 (см. рис. 26).
Положим x
3
= 0 в уравнениях (1.9), (1.10), получим систему уравнения для отыс-
кания первых двух координат точки, принадлежащей пересечению плоскостей π
1
, π
2
:
2x
1
− x
2
− 3 = 0,
6x
1
+ 2x
2
+ 8 = 0.
Решение этой системы: x
1
= −1/5, x
2
= −17/5, т. е. точка x
1
= (−1/5, −17/5, 0) принад-
лежит пересечению плоскостей (1.9), (1.10). Вектор e, параллельный искомой прямой,
определим по формуле
e =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
1
i
2
i
3
2 −1 2
6 2 −3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −i
1
+ 18i
2
+ 10i
3
, (6.3)
или e = (−1, 18, 10). По формуле (2.1), с. 56 множество точек искомой прямой описы-
вается уравнением x = (−1/5, −17/5, 0) + θ(−1, 18, 10), θ ∈ (−∞, ∞). Более подробно,
x
1
= −1/5 − θ, x
2
= −17/5 + 18θ, x
3
= 10θ, θ ∈ (−∞, ∞).
§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и плоскостей в пространстве 61


    Найдем теперь направляющий вектор e этой прямой. Вектор e ор-
тогонален каждому из векторов a1 и a2 , следовательно, можно взять
его равным их векторному произведению
                                      ¯           ¯
                                      ¯ i1 i2 i3 ¯
                                      ¯           ¯
                    e = [a1 , a2 ] = ¯¯ a1 b1 c1 ¯¯ .         (6.2)
                                      ¯ a 2 b2 c2 ¯

Таким образом, найдены точка x0 , принадлежащая прямой l и век-
тор e, параллельный этой прямой, следовательно уравнение прямой l
можно записать, например, в виде (2.1), с. 56.




  Рис. 26. К выводу уравнения прямой, по которой пересекаются плоскости π 1 , π2 .


    Пример. Найдем уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости π 1 , π2 ,
определяемые уравнениями (1.9), (1.10), с. 56 (см. рис. 26).
    Положим x3 = 0 в уравнениях (1.9), (1.10), получим систему уравнения для отыс-
кания первых двух координат точки, принадлежащей пересечению плоскостей π 1 , π2 :

                                   2x1 − x2 − 3 = 0,

                                  6x1 + 2x2 + 8 = 0.
Решение этой системы: x1 = −1/5, x2 = −17/5, т. е. точка x1 = (−1/5, −17/5, 0) принад-
лежит пересечению плоскостей (1.9), (1.10). Вектор e, параллельный искомой прямой,
определим по формуле
                           ¯              ¯
                           ¯ i1  i2   i3 ¯¯
                           ¯
                      e = ¯¯ 2 −1      2 ¯¯ = −i1 + 18i2 + 10i3 ,                 (6.3)
                           ¯ 6   2 −3 ¯

или e = (−1, 18, 10). По формуле (2.1), с. 56 множество точек искомой прямой описы-
вается уравнением x = (−1/5, −17/5, 0) + θ(−1, 18, 10), θ ∈ (−∞, ∞). Более подробно,

            x1 = −1/5 − θ,   x2 = −17/5 + 18θ,   x3 = 10θ,   θ ∈ (−∞, ∞).

Страницы