Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Упражнение. Докажите равенство
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 a
n2
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
22
a
23
. . . a
2n
a
32
a
33
. . . a
3n
. . . . . . . . . . . . . . . .
a
n2
a
n3
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (1.4)
2. Переходим к изучению основных свойств определителей. Все
они являются обобщением свойств определителей третьего порядка
и их доказательства зачастую не требуют дополнительных сколько-
нибудь сложных рассуждений. В этих случаях мы ограничиваемся
только формулировками свойств определителей и предлагаем чита-
телю в качестве упражнений воспроизвести соответствующие доказа-
тельства.
1) Если одна из строк (или один из столбцов) определителя состо-
ит только из нулей, то этот определитель равен нулю. Доказательство
сразу же следует из того, что каждая диагональ матрицы A сдержит
в этом случае нулевой элемент.
2) Определитель линеен по каждой строке (по каждому столбцу).
3) Если в определителе две строки (или два столбца) совпадают,
то он равен нулю. Пусть совпадают строки с номерами k и l, k < l.
Множество всех диагоналей матрицы A можно представить в виде
объединения множества пар
a
1n
1
, a
2n
2
, . . . , a
kn
k
, . . . , a
ln
l
, . . . , a
nn
n
,
a
1n
1
, a
2n
2
, . . . , a
kn
l
, . . . , a
ln
k
, . . . , a
nn
n
.
Диагонали каждой такой пары имеют противоположные четности,
так как соответствующие им перестановки получены одна из другой
при помощи транспозиции (n
k
, n
l
). Произведения же элементов этих
диагоналей совпадают, так как по предположению
a
kn
k
= a
ln
k
, a
kn
l
= a
ln
l
.
Это означает, что слагаемые в (1.2), отвечающие каждой такой паре, в
сумме дают нуль, следовательно, |A| = 0. Доказательство равенства
нулю определителя, у которого два столбца совпадают, проводится
аналогично.
4) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет
знак.
5) Определитель не изменится, если к некоторой его строке доба-
вить другую, умноженную на произвольное число. То же самое спра-
ведливо и для столбцов определителя.
66            Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


     Упражнение. Докажите равенство
           ¯                 ¯ ¯                                             ¯
           ¯ 1 a12 . . . a1n ¯ ¯ a22 a23 . . . a2n                           ¯
           ¯                 ¯ ¯                                             ¯
           ¯ 0 a22 . . . a2n ¯ ¯ a32 a33 . . . a3n                           ¯
           ¯ ............... ¯ = ¯ ................                          ¯.   (1.4)
           ¯                 ¯ ¯                                             ¯
           ¯ 0 a ... a ¯ ¯ a a ... a                                         ¯
                    n2            nn             n2     n3            nn


    2. Переходим к изучению основных свойств определителей. Все
они являются обобщением свойств определителей третьего порядка
и их доказательства зачастую не требуют дополнительных сколько-
нибудь сложных рассуждений. В этих случаях мы ограничиваемся
только формулировками свойств определителей и предлагаем чита-
телю в качестве упражнений воспроизвести соответствующие доказа-
тельства.
    1) Если одна из строк (или один из столбцов) определителя состо-
ит только из нулей, то этот определитель равен нулю. Доказательство
сразу же следует из того, что каждая диагональ матрицы A сдержит
в этом случае нулевой элемент.
    2) Определитель линеен по каждой строке (по каждому столбцу).
    3) Если в определителе две строки (или два столбца) совпадают,
то он равен нулю. Пусть совпадают строки с номерами k и l, k < l.
Множество всех диагоналей матрицы A можно представить в виде
объединения множества пар
                a1n1 , a2n2 , . . . , aknk , . . . , alnl , . . . , annn ,
                a1n1 , a2n2 , . . . , aknl , . . . , alnk , . . . , annn .
Диагонали каждой такой пары имеют противоположные четности,
так как соответствующие им перестановки получены одна из другой
при помощи транспозиции (nk , nl ). Произведения же элементов этих
диагоналей совпадают, так как по предположению
                          aknk = alnk ,        aknl = alnl .
Это означает, что слагаемые в (1.2), отвечающие каждой такой паре, в
сумме дают нуль, следовательно, |A| = 0. Доказательство равенства
нулю определителя, у которого два столбца совпадают, проводится
аналогично.
   4) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет
знак.
   5) Определитель не изменится, если к некоторой его строке доба-
вить другую, умноженную на произвольное число. То же самое спра-
ведливо и для столбцов определителя.

Страницы