Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Определители 69
Докажем обратное утверждение. Пусть |A|=0. Рассмотрим все
определители порядка n−1, которые получаются вычеркиванием од-
ной строки и одного столбца из матрицы A.
Если все они окажутся равными нулю, перейдем к определителям
порядка n − 2 и т. д. В конце концов, либо все элементы матрицы A
окажутся равными нулю, и тогда доказываемое утверждение будет
выполнено тривиальным образом, либо найдется определитель поряд-
ка k > 1, отличный от нуля и полученный вычеркиванием n−k строк
и столбцов матрицы A, а все определители большего порядка будут
нулями. Поскольку при перестановке строк и при перестановке столб-
цов меняется лишь знак определителя, то, не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что этот определитель (обозначим его
через d
k
) составлен из элементов первых k строк и первых k столбцов
матрицы A.
Рассмотрим определитель d
k+1
, составленный из первых k + 1
строк и первых k + 1 столбцов матрицы A. По предположению он
равен нулю. Разложив этот определитель по элементам последнего
столбца, получим, что
α
1
a
1k+1
+ α
2
a
2k+1
+ ··· + α
k
a
kk+1
+ d
k
a
k+1k+1
= 0. (2.6)
Подчеркнем, что d
k
6= 0, а числа α
1
, . . . , α
k
— алгебраические до-
полнения соответствующих элементов последнего столбца определи-
теля d
k+1
. Важно отметить, что они зависят только от элементов пер-
вых k столбцов определителя d
k+1
.
Переставляя столбцы определителя |A|, мы можем составить по-
следний столбец определителя d
k+1
из элементов
a
1j
, a
2j
, . . . , a
kj
, a
k+1j
, j = k + 2, k + 3, . . . , n.
По предположению этот определитель равен нулю. Выполняя разло-
жение по его последнему столбцу, получим, что
α
1
a
1j
+α
2
a
2j
+···+α
k
a
kj
+d
k
a
k+1j
= 0, j = k+2, k+3, . . . , n. (2.7)
Наконец, поместив на место k + 1 столбца определителя |A| его
же столбец с номером j 6 k, мы получим, нулевой определитель (как
определитель с равными столбцами). По той же причине и определи-
тель d
k+1
будет равен нулю. Вновь выполняя разложение по послед-
нему столбцу этого определителя, получим, что
α
1
a
1j
+ α
2
a
2j
+ ··· + α
k
a
kj
+ d
k
a
k+1j
= 0, j = 1, 2, . . . , k. (2.8)
Теперь можно написать:
α
1
a
1j
+ α
2
a
2j
+ ··· + α
k
a
kj
+ d
k
a
k+1j
+ 0 · a
k+2j
+ ··· + 0 · a
nj
= 0,
§ 2. Определители                                                                  69


    Докажем обратное утверждение. Пусть |A|=0. Рассмотрим все
определители порядка n − 1, которые получаются вычеркиванием од-
ной строки и одного столбца из матрицы A.
    Если все они окажутся равными нулю, перейдем к определителям
порядка n − 2 и т. д. В конце концов, либо все элементы матрицы A
окажутся равными нулю, и тогда доказываемое утверждение будет
выполнено тривиальным образом, либо найдется определитель поряд-
ка k > 1, отличный от нуля и полученный вычеркиванием n−k строк
и столбцов матрицы A, а все определители большего порядка будут
нулями. Поскольку при перестановке строк и при перестановке столб-
цов меняется лишь знак определителя, то, не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что этот определитель (обозначим его
через dk ) составлен из элементов первых k строк и первых k столбцов
матрицы A.
    Рассмотрим определитель dk+1 , составленный из первых k + 1
строк и первых k + 1 столбцов матрицы A. По предположению он
равен нулю. Разложив этот определитель по элементам последнего
столбца, получим, что
           α1 a1k+1 + α2 a2k+1 + · · · + αk akk+1 + dk ak+1k+1 = 0.            (2.6)
Подчеркнем, что dk 6= 0, а числа α1 , . . . , αk — алгебраические до-
полнения соответствующих элементов последнего столбца определи-
теля dk+1 . Важно отметить, что они зависят только от элементов пер-
вых k столбцов определителя dk+1 .
   Переставляя столбцы определителя |A|, мы можем составить по-
следний столбец определителя dk+1 из элементов
         a1j , a2j , . . . , akj , ak+1j ,   j = k + 2, k + 3, . . . , n.
По предположению этот определитель равен нулю. Выполняя разло-
жение по его последнему столбцу, получим, что
 α1 a1j +α2 a2j +· · ·+αk akj +dk ak+1j = 0,       j = k+2, k+3, . . . , n. (2.7)
   Наконец, поместив на место k + 1 столбца определителя |A| его
же столбец с номером j 6 k, мы получим, нулевой определитель (как
определитель с равными столбцами). По той же причине и определи-
тель dk+1 будет равен нулю. Вновь выполняя разложение по послед-
нему столбцу этого определителя, получим, что
  α1 a1j + α2 a2j + · · · + αk akj + dk ak+1j = 0,      j = 1, 2, . . . , k.   (2.8)
Теперь можно написать:
  α1 a1j + α2 a2j + · · · + αk akj + dk ak+1j + 0 · ak+2j + · · · + 0 · anj = 0,

Страницы