Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Крамеровские системы линейных уравнений 73
Это показывает, что столбцы матрицы A линейно зависимы, но по
условию теоремы определитель |A| не равен нулю. Значит предполо-
жении о наличии нетривиального решения у однородной крамеров-
ской системы неверно. ¤
1.2. Теорема. При любой правой части крамеровская система
не может иметь двух различных решений.
Доказательство. Предположим противное и пусть
x
1
1
, x
1
2
, . . . , x
1
n
и
x
2
1
, x
2
2
, . . . , x
2
n
представляют собой два различных решения системы (1.1), т. е.
a
11
x
1
1
+ a
12
x
1
2
+ . . . + a
1n
x
1
n
= b
1
,
a
21
x
1
1
+ a
22
x
1
2
+ . . . + a
2n
x
1
n
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
1
+ a
n2
x
1
2
+ . . . + a
nn
x
1
n
= b
n
(1.4)
и
a
11
x
2
1
+ a
12
x
2
2
+ . . . + a
1n
x
2
n
= b
1
,
a
21
x
2
1
+ a
22
x
2
2
+ . . . + a
2n
x
2
n
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
2
1
+ a
n2
x
2
2
+ . . . + a
nn
x
2
n
= b
n
.
(1.5)
Положим
x
1
= x
1
1
− x
2
1
, x
2
= x
1
2
− x
2
2
, . . . , x
n
= x
1
n
− x
2
n
и вычтем почленно одноименные уравнения систем (1.4), (1.5). В ре-
зультате получим, что x
1
, x
2
, . . . , x
n
— решение однородной систе-
мы (1.3). Но тогда по теореме 1.1 имеем, что x
1
= x
2
= . . . = x
n
= 0,
т. е. предположение о наличии двух различных решений системы (1.1)
неверно. ¤
1.3. Теорема. Крамеровская система уравнений при любой пра-
вой части имеет решение.
Доказательство. Фактически, мы сконструируем решение си-
стемы (1.1), опираясь на формулу (2.1), с. 67. Будем разыскивать
решение системы (1.1) в виде
x
i
= c
i1
b
1
+ c
i2
b
2
+ ··· + c
in
b
n
, i = 1, 2, . . . , n, (1.6)
§ 3. Крамеровские системы линейных уравнений                                        73


Это показывает, что столбцы матрицы A линейно зависимы, но по
условию теоремы определитель |A| не равен нулю. Значит предполо-
жении о наличии нетривиального решения у однородной крамеров-
ской системы неверно. ¤
   1.2. Теорема. При любой правой части крамеровская система
не может иметь двух различных решений.
    Доказательство. Предположим противное и пусть
                                 x11 , x12 , . . . , x1n
и
                                 x21 , x22 , . . . , x2n
представляют собой два различных решения системы (1.1), т. е.
                    a11 x11 + a12 x12 + . . . + a1n x1n = b1 ,
                    a21 x11 + a22 x12 + . . . + a2n x1n = b2 ,
                                                                                  (1.4)
                    .................................
                    an1 x11 + an2 x12 + . . . + ann x1n = bn
и
                    a11 x21 + a12 x22 + . . . + a1n x2n = b1 ,
                    a21 x21 + a22 x22 + . . . + a2n x2n = b2 ,
                                                                                  (1.5)
                    .................................
                    an1 x21 + an2 x22 + . . . + ann x2n = bn .
    Положим
          x1 = x11 − x21 ,   x2 = x12 − x22 , . . . ,          xn = x1n − x2n
и вычтем почленно одноименные уравнения систем (1.4), (1.5). В ре-
зультате получим, что x1 , x2 , . . . , xn — решение однородной систе-
мы (1.3). Но тогда по теореме 1.1 имеем, что x1 = x2 = . . . = xn = 0,
т. е. предположение о наличии двух различных решений системы (1.1)
неверно. ¤
   1.3. Теорема. Крамеровская система уравнений при любой пра-
вой части имеет решение.
   Доказательство. Фактически, мы сконструируем решение си-
стемы (1.1), опираясь на формулу (2.1), с. 67. Будем разыскивать
решение системы (1.1) в виде
           xi = ci1 b1 + ci2 b2 + · · · + cin bn ,         i = 1, 2, . . . , n,   (1.6)

Страницы