Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
8. Транспонирование матриц. Определенная в § 2 операция
транспонирования квадратных матриц естественным образом распро-
страняется на прямоугольные матрицы.
Понятно, что при транспонировании размеры матрицы меня-
ются местами. В частности, матрица-строка становится матрицей-
столбцом.
Отметим основные свойства операции транспонирования.
1) Для любой матрицы A справедливо равенство (A
T
)
T
= A.
2) Для любых чисел α, β и любых матриц A, B одинаковых раз-
меров
(αA + βB)
T
= αA
T
+ βB
T
(поэтому говорят, что операция транспонирования линейна).
3) Если операция умножения матриц AB имеет смысл, то: а) опе-
рация умножения B
T
A
T
также имеет смысл; б) (AB)
T
= B
T
A
T
.
Все сформулированные здесь утверждения, кроме утвержде-
ния 3 б), непосредственно вытекают из определений и их проверка
предлагается читателю.
Докажем утверждение 3 б). Элемент с номерами i, j матри-
цы (AB)
T
это — результат умножения j-й строки матрицы A на i-й
столбец матрицы B. Элемент с номерами i, j матрицы B
T
A
T
это —
результат умножения i-й строки матрицы B
T
и j-го столбца матри-
цы A
T
. Элементы i-й строки матрицы B
T
совпадают с элементами i-го
столбца матрицы B, а элементы j-го столбца матрицы A
T
совпадают
с элементам j-ой строки матрицы A. Последнее замечание завершает
доказательство утверждения 3 б).
9. Обратная матрица. В этом пункте мы будем широко исполь-
зовать результаты теории крамеровских систем (см. § 3).
Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее опреде-
литель равен нулю. В противном случае матрица A называется невы-
рожденной.
Если A, B — невырожденные матрицы, матрица C = AB также
невырождена. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно показать,
что однородная система линейных уравнений
ABx = 0 (9.1)
имеет только тривиальное решение. Последнее верно, так как, по-
скольку матрица A невырождена, то Bx = 0, а поскольку B невы-
рождена, то x = 0.
Если одна из матриц A, B вырождена, то C = AB вырожде-
на. Действительно, в этом случае достаточно установить, что систе-
84           Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


   8. Транспонирование матриц. Определенная в § 2 операция
транспонирования квадратных матриц естественным образом распро-
страняется на прямоугольные матрицы.
   Понятно, что при транспонировании размеры матрицы меня-
ются местами. В частности, матрица-строка становится матрицей-
столбцом.
   Отметим основные свойства операции транспонирования.
   1) Для любой матрицы A справедливо равенство (AT )T = A.
   2) Для любых чисел α, β и любых матриц A, B одинаковых раз-
меров
                   (αA + βB)T = αAT + βB T
(поэтому говорят, что операция транспонирования линейна).
    3) Если операция умножения матриц AB имеет смысл, то: а) опе-
рация умножения B T AT также имеет смысл; б) (AB)T = B T AT .
    Все сформулированные здесь утверждения, кроме утвержде-
ния 3 б), непосредственно вытекают из определений и их проверка
предлагается читателю.
    Докажем утверждение 3 б). Элемент с номерами i, j матри-
цы (AB)T это — результат умножения j-й строки матрицы A на i-й
столбец матрицы B. Элемент с номерами i, j матрицы B T AT это —
результат умножения i-й строки матрицы B T и j-го столбца матри-
цы AT . Элементы i-й строки матрицы B T совпадают с элементами i-го
столбца матрицы B, а элементы j-го столбца матрицы AT совпадают
с элементам j-ой строки матрицы A. Последнее замечание завершает
доказательство утверждения 3 б).
    9. Обратная матрица. В этом пункте мы будем широко исполь-
зовать результаты теории крамеровских систем (см. § 3).
    Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее опреде-
литель равен нулю. В противном случае матрица A называется невы-
рожденной.
    Если A, B — невырожденные матрицы, матрица C = AB также
невырождена. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно показать,
что однородная система линейных уравнений
                             ABx = 0                              (9.1)
имеет только тривиальное решение. Последнее верно, так как, по-
скольку матрица A невырождена, то Bx = 0, а поскольку B невы-
рождена, то x = 0.
    Если одна из матриц A, B вырождена, то C = AB вырожде-
на. Действительно, в этом случае достаточно установить, что систе-

Страницы