Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

88 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
и легко проверяемых соотношений
(A + A
∗
)
∗
= A + A
∗
,
µ
1
i
(A − A
∗
)
∗
=
1
i
(A − A
∗
).
Если предположить, что наряду с (10.1) возможно представление
A =
e
H
1
+ i
e
H
2
с эрмитовыми матрицами
e
H
1
,
e
H
2
, то
(H
1
−
e
H
1
) + i(H
2
−
e
H
2
) = 0.
Переходя к сопряженным матрицам, получим
(H
1
−
e
H
1
) − i(H
2
−
e
H
2
) = 0.
Складывая почленно два этих равенства, будем иметь, что H
1
=
e
H
1
,
но тогда и H
2
=
e
H
2
, т. е. представление (10.1) однозначно.
Матрицы, у которых все элементы вещественны, называют веще-
ственными матрицами.
Вещественная эрмитова матрица A называется симметричной.
Для такой матрицы A = A
T
.
Вещественная матрица A называется кососимметричной, ес-
ли A = −A
T
.
Для любой квадратной вещественной матрицы справедливо пред-
ставление
A = A
0
+ A
1
, (10.2)
где A
0
симметричная, A
1
кососимметричная матрицы. Такое пред-
ставление единственно,
A
0
=
1
2
(A + A
T
), A
1
=
1
2
(A − A
T
).
Матрица A называется унитарной, если AA
∗
= I, A
∗
A = I, ины-
ми словами, если A
−1
= A
∗
. Из этого определения сразу следует, что
определитель унитарной матрицы по модулю равен единице. Нетруд-
но видеть, что произведение унитарных матриц является унитарной
матрицей.
Важным примером унитарной матрицы является диагональная
матрица, диагональ которой состоит из чисел q
1
, q
2
, . . . , q
n
, равных
единице по модулю, n — порядок матрицы. Проверка унитарности
этой матрицы элементарна и поручается читателю.
88            Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


и легко проверяемых соотношений
                               µ            ¶∗
                                 1             1
         (A + A∗ )∗ = A + A∗ ,     (A − A∗ ) = (A − A∗ ).
                                 i             i
Если предположить, что наряду с (10.1) возможно представление
                               e 1 + iH
                             A=H      e2

                       e1, H
с эрмитовыми матрицами H   e 2 , то

                           e 1 ) + i(H2 − H
                     (H1 − H              e 2 ) = 0.

Переходя к сопряженным матрицам, получим
                           e 1 ) − i(H2 − H
                     (H1 − H              e 2 ) = 0.

Складывая почленно два этих равенства, будем иметь, что H1 = H  e1,
                e 2 , т. е. представление (10.1) однозначно.
но тогда и H2 = H
    Матрицы, у которых все элементы вещественны, называют веще-
ственными матрицами.
    Вещественная эрмитова матрица A называется симметричной.
Для такой матрицы A = AT .
    Вещественная матрица A называется кососимметричной, ес-
ли A = −AT .
    Для любой квадратной вещественной матрицы справедливо пред-
ставление
                              A = A 0 + A1 ,                 (10.2)
где A0 симметричная, A1 кососимметричная матрицы. Такое пред-
ставление единственно,
                     1                   1
                 A0 = (A + AT ),     A1 = (A − AT ).
                     2                   2
    Матрица A называется унитарной, если AA∗ = I, A∗ A = I, ины-
ми словами, если A−1 = A∗ . Из этого определения сразу следует, что
определитель унитарной матрицы по модулю равен единице. Нетруд-
но видеть, что произведение унитарных матриц является унитарной
матрицей.
    Важным примером унитарной матрицы является диагональная
матрица, диагональ которой состоит из чисел q1 , q2 , . . . , qn , равных
единице по модулю, n — порядок матрицы. Проверка унитарности
этой матрицы элементарна и поручается читателю.

Страницы