Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Метод Гаусса. Треугольное разложение матрицы 91
тогда, вычисляя det(A
2
) разложением по первому столбцу, получим,
что det(A
2
) = 0. С другой стороны, используя то, что L
1
— элементар-
ная нижняя треугольная матрица, а P
1
— либо единичная матрица,
либо матрица перестановки, можем написать, что
det(A
2
) = l
11
det(P
1
A) = det(P
1
A)/a
(1)
11
= ±det(A)/a
(1)
11
6= 0.
Умножим обе части уравнения (2.3) на матрицу P
2
= P
2i
, т. е.
поменяем местами вторую и i-ю строку матрицы A
2
. Получим
˜
A
2
x = P
2
L
1
P
1
b, (2.5)
где
˜
A
2
= P
2
A
2
=
1 a
(2)
12
a
(2)
13
. . . a
(2)
1n
0 ˜a
(2)
22
˜a
(2)
23
. . . ˜a
(2)
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ˜a
(2)
n2
˜a
(2)
n3
. . . ˜a
(2)
nn
. (2.6)
Умножим обе части уравнения (2.5) на элементарную нижнюю тре-
угольную матрицу
L
2
=
1 0 0 0 . . . 0 0
0 l
2,2
0 0 . . . 0 0
0 l
3,2
1 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 l
n−1,2
0 0 . . . 1 0
0 l
n,2
0 0 . . . 0 1
, (2.7)
где l
22
= 1/˜a
(2)
22
, l
32
= −˜a
(2)
32
/˜a
(2)
22
, . . . , l
n2
= −˜a
(2)
n2
/˜a
(2)
22
. Получим
A
3
x = L
2
P
2
L
1
P
1
b, (2.8)
где A
3
= L
2
˜
A
2
= L
2
P
2
L
1
P
1
A. Нетрудно убедиться, что
A
3
=
1 a
(2)
12
a
(2)
13
. . . a
(2)
1n
0 1 a
(3)
23
. . . a
(3)
2n
0 0 a
(3)
33
. . . a
(3)
3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 a
(3)
n3
. . . a
(3)
nn
. (2.9)
Важно подчеркнуть, что все элементы второго столбца матрицы A
3
,
кроме первых двух, — нули.
§ 5. Метод Гаусса. Треугольное разложение матрицы                                            91


тогда, вычисляя det(A2 ) разложением по первому столбцу, получим,
что det(A2 ) = 0. С другой стороны, используя то, что L1 — элементар-
ная нижняя треугольная матрица, а P1 — либо единичная матрица,
либо матрица перестановки, можем написать, что
                                                              (1)                    (1)
      det(A2 ) = l11 det(P1 A) = det(P1 A)/a11 = ± det(A)/a11 6= 0.
   Умножим обе части уравнения (2.3) на матрицу P2 = P2i , т. е.
поменяем местами вторую и i-ю строку матрицы A2 . Получим
                                          Ã2 x = P2 L1 P1 b,                              (2.5)
где                                                                          
                                                    (2)     (2)             (2)
                                      1           a12     a13 ...         a1n
                                                   (2)     (2)             (2) 
                                                                         ã2n  .
                      Ã2 = P2 A2 = 0            ã22    ã23...
                                                                                          (2.6)
                                    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                                             (2)      (2)                 (2)
                                      0 ãn2 ãn3 . . . ãnn
Умножим обе части уравнения (2.5) на элементарную нижнюю тре-
угольную матрицу
                                                                  
                      1       0        0 0 ... 0 0
                    0 l2,2 0 0 . . . 0 0
                                                                  
                    0 l3,2 1 0 . . . 0 0
               L2 =                                               , (2.7)
                    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                    0 l                                           
                           n−1,2 0 0 . . . 1 0
                      0 ln,2 0 0 . . . 0 1
                (2)                 (2)     (2)                     (2)     (2)
где l22 = 1/ã22 , l32 = −ã32 /ã22 , . . . , ln2 = −ãn2 /ã22 . Получим
                                      A3 x = L2 P2 L1 P1 b,                                (2.8)

где A3 = L2 Ã2 = L2 P2 L1 P1 A. Нетрудно убедиться, что
                                   (2)      (2)               (2)
                                                                    
                              1 a12 a13 . . . a1n
                                            (3)               (3) 
                           0 1 a23 . . . a2n 
                                                              (3) 
                    A3 = 0 0 a(3)                  . . .    a      .                     (2.9)
                                            33                3n 
                           . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                                             (3)               (3)
                              0 0 an3 . . . ann
Важно подчеркнуть, что все элементы второго столбца матрицы A3 ,
кроме первых двух, — нули.

Страницы