Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Метод Гаусса. Треугольное разложение матрицы 93
3. Вычисление определителя методом Гаусса. Из (2.11), исполь-
зуя формулы из упражнений на с. 87, получаем
A = P
1
L
−1
1
P
2
L
−1
1
···P
n
L
−1
n
U, (3.1)
откуда, используя формулы из упражнений на с. 82, будем иметь
det A = det(P
1
L
−1
1
P
2
L
−1
1
···P
n
L
−1
n
U) =
n
Y
i=1
det P
i
n
Y
i=1
det L
−1
i
=
= ±
n
Y
i=1
det L
−1
i
. (3.2)
При этом мы учли, что det U = 1. Нетрудно убедиться (см. упражне-
ние 3 на с. 87), что
det L
−1
i
= ˜a
(i)
ii
,
следовательно,
det A = ±a
(1)
11
˜a
(2)
22
···˜a
(n)
nn
. (3.3)
Знак здесь определяется количеством перестановок строк, выполнен-
ных в ходе реализации прямого хода метода Гаусса. Если оно четно,
выбирается знак плюс. Таким образом, определитель матрицы может
быть вычислен в ходе реализации метода Гаусса.
Пример. Решим методом Гаусса систему уравнений
3x
1
+ 6x
2
+ 15x
3
= 60,
3x
1
+ 2x
2
+ 9x
3
= 34,
9x
1
+ 6x
2
− 3x
3
= 12.
Выпишем матрицу системы уравнений и столбец правой части
A =
3 6 15
3 2 9
9 6 −3
, b =
60
34
12
.
Максимальный элемент первого столбца матрицы A есть a
31
= 9. В соответствии с
описанным выше алгоритмом матрица A
1
и столбец b
1
равны соответственно
A
1
=
9 6 −3
3 2 9
3 6 15
, b
1
=
12
34
60
(поменяли местами первую и третью строки матрицы A, первый и последний элементы
столбца b). Затем делим первую строку матрицы A
1
на 9, умножаем ее на 3 и вычитаем
из второй и третьей срок; делим первый элемент столбца b
1
на 9, затем умножаем его
на 3 и вычитаем из второго и третьего элементов столбца b
1
. В результате получаем
A
2
=
1 2/3 −1/3
0 0 10
0 4 16
, b
2
=
4/3
30
56
.
§ 5. Метод Гаусса. Треугольное разложение матрицы                                      93


    3. Вычисление определителя методом Гаусса. Из (2.11), исполь-
зуя формулы из упражнений на с. 87, получаем
                        A = P1 L−1    −1          −1
                                1 P2 L1 · · · Pn Ln U,                              (3.1)
откуда, используя формулы из упражнений на с. 82, будем иметь
                                                     n
                                                     Y              n
                                                                    Y
  det A =   det(P1 L−1     −1            −1
                    1 P2 L 1 · · · P n L n U )   =         det Pi       det L−1
                                                                             i =
                                                     i=1            i=1
                                                                      Yn
                                                              =±           det L−1
                                                                                i . (3.2)
                                                                     i=1

При этом мы учли, что det U = 1. Нетрудно убедиться (см. упражне-
ние 3 на с. 87), что
                                       (i)
                          det L−1
                               i = ãii ,
следовательно,
                                (1) (2)
                     det A = ±a11 ã22 · · · ã(n)
                                               nn .          (3.3)
Знак здесь определяется количеством перестановок строк, выполнен-
ных в ходе реализации прямого хода метода Гаусса. Если оно четно,
выбирается знак плюс. Таким образом, определитель матрицы может
быть вычислен в ходе реализации метода Гаусса.
    Пример. Решим методом Гаусса систему уравнений
                              3x1 + 6x2 + 15x3 = 60,
                              3x1 + 2x2 + 9x3 = 34,
                              9x1 + 6x2 − 3x3 = 12.
Выпишем матрицу системы уравнений и столбец правой части
                                             
                             3 6 15             60
                       A = 3 2     9  , b = 34 .
                             9 6 −3             12
Максимальный элемент первого столбца матрицы A есть a31 = 9. В соответствии с
описанным выше алгоритмом матрица A1 и столбец b1 равны соответственно
                                               
                              9 6 −3              12
                       A1 = 3 2     9  , b1 = 34
                              3 6 15              60

(поменяли местами первую и третью строки матрицы A, первый и последний элементы
столбца b). Затем делим первую строку матрицы A1 на 9, умножаем ее на 3 и вычитаем
из второй и третьей срок; делим первый элемент столбца b1 на 9, затем умножаем его
на 3 и вычитаем из второго и третьего элементов столбца b1 . В результате получаем
                                                   
                               1 2/3 −1/3             4/3
                       A 2 = 0 0       10  , b2 =  30  .
                               0 4      16             56

Страницы