Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

96 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
где элементы A
ij
, в свою очередь, являются матрицами.
Матрицы вида (1.1) называются блочными. Размеры блоков пред-
полагаются согласованными, т. е. все элементы, стоящие в одной стро-
ке, должны иметь одинаковое число строк, все элементы, стоящие в
одном столбце, должны иметь одинаковое число столбцов. Матрица
может быть разбита на блоки различными способами (см. рис. 2).
Рис. 2. Примеры разбиения матрицы на блоки.
Нетрудно убедиться, что с блочными матрицами можно действо-
вать по тем же формальным правилам, что и с обычными. Так, если
B =
B
11
B
12
. . . B
1m
B
21
B
22
. . . B
2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
n1
B
n2
. . . B
nm
, (1.2)
причем для любой пары индексов i, j размеры блоков A
ij
, B
ij
совпа-
дают, то матрица C = A + B может быть представлена как блочная
с блоками C
ij
= A
ij
+ B
ij
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Если
B =
B
11
B
12
. . . B
1p
B
21
B
22
. . . B
2p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
m1
B
m2
. . . B
mp
, (1.3)
то матрица C = AB может быть представлена как блочная с блоками
C
ij
=
m
X
q=1
A
iq
B
qj
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p. (1.4)
При этом, конечно, требуется, чтобы все произведения A
iq
B
qj
имели
смысл, т. е. горизонтальные и вертикальные размеры перемножаемых
блоков должны быть согласованы.
2. Получим некоторые полезные формулы для вычисления опре-
делителей блочных матриц. Рассмотрим сначала самый простой слу-
чай. Пусть
A =
µ
I A
12
0 A
22
(2.1)
96            Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


где элементы Aij , в свою очередь, являются матрицами.
    Матрицы вида (1.1) называются блочными. Размеры блоков пред-
полагаются согласованными, т. е. все элементы, стоящие в одной стро-
ке, должны иметь одинаковое число строк, все элементы, стоящие в
одном столбце, должны иметь одинаковое число столбцов. Матрица
может быть разбита на блоки различными способами (см. рис. 2).




                Рис. 2. Примеры разбиения матрицы на блоки.


   Нетрудно убедиться, что с блочными матрицами можно действо-
вать по тем же формальным правилам, что и с обычными. Так, если
                                           
                         B11 B12 . . . B1m
                       B B22 . . . B2m 
                  B =  21                    ,            (1.2)
                         .................. 
                         Bn1 Bn2 . . . Bnm
причем для любой пары индексов i, j размеры блоков Aij , Bij совпа-
дают, то матрица C = A + B может быть представлена как блочная
с блоками Cij = Aij + Bij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
    Если                                             
                            B11 B12 . . . B1p
                        B        B22 . . . B2p 
                  B =  21                                ,        (1.3)
                            ................... 
                            Bm1 Bm2 . . . Bmp
то матрица C = AB может быть представлена как блочная с блоками
                 Xm
           Cij =     Aiq Bqj , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p. (1.4)
                  q=1

При этом, конечно, требуется, чтобы все произведения Aiq Bqj имели
смысл, т. е. горизонтальные и вертикальные размеры перемножаемых
блоков должны быть согласованы.
   2. Получим некоторые полезные формулы для вычисления опре-
делителей блочных матриц. Рассмотрим сначала самый простой слу-
чай. Пусть                   µ       ¶
                               I A12
                         A=                               (2.1)
                               0 A22

Страницы