Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 101 стр.

100                                             Глава 4. Векторные пространства


      Вектор
                      ik = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),
                            | {z } | {z }
                                 k−1             n−k
у которого компонента с номером k равна единице, а все остальные
компоненты — нули, будем называть единичным. В пространстве Rn
есть ровно n единичных векторов: i1 , i2 , . . . , in .
    На пространстве Rn вводятся линейные операции: умножение
векторов на вещественные числа (скаляры) и сложение векторов.
    Именно, по определению для любого вещественного числа α и
любого x ∈ Rn положим
                      αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ).
Для любых x, y ∈ Rn по определению
               x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ).
    Отметим следующие свойства введенных операций. Для лю-
бых x, y, z ∈ Rn и для любых вещественных чисел α, β:
    1) x + y = y + x — коммутативность операции сложения;
    2) (x+y)+z = x+(y+z) — ассоциативность операции сложения;
    3) x + 0 = x — нейтральность нулевого вектора;
    4) x+(−x) = 0, где по определению −x = (−1)x, — существование
для каждого вектора противоположного;
    5) α(x + y) = αx + αy — дистрибутивность по сложению векто-
ров;
    6) (α + β)x = αx + βx — дистрибутивность по сложению скаля-
ров;
    7) (αβ)x = α(βx) — ассоциативность по умножению скаляров;
    8) 1x = x — нейтральность единичного скаляра.
    Тождества 1)–8) называются аксиомами линейного простран-
ства над полем вещественных чисел. Их справедливость очевидным
образом вытекает из определения линейных операций над элемента-
ми Rn .
    Нетрудно заметить, что аксиомы 1)–8) в точности соответствуют
свойствам линейных операций над векторами трехмерного евклидова
пространства (см. § 2, гл. 2).
    Важно иметь в виду, что R1 одновременно является и линейным
пространством и множеством всех скаляров. В дальнейшем будем
обозначать R1 через R.