Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 103 стр.

102                                           Глава 4. Векторные пространства


    Неравенство 3) называют неравенством треугольника (неравен-
ством Минковского).
    Важно понимать, что, определяя различными способами скаляр-
ное произведение на Rn , мы получаем различные вещественные ев-
клидовы пространства.
    Пространство Rn со стандартным скалярным произведением ча-
сто называют n-мерным арифметическим пространством. Это про-
странство играет важную роль во многих разделах математики. На-
пример, оно систематически используется в математическом анализе
при изучении функций многих вещественных переменных.
    4. Пространство Cn — это множество всех упорядоченных набо-
ров x = (x1 , x2 , . . . , xn ) комплексных чисел, n > 1 — фиксированное
целое число.
    Элементы пространства Cn будем называть векторами, или точ-
ками, числа xk , k = 1, . . . , n, — компонентами вектора x.
    Два вектора x, y ∈ Cn будем считать равными тогда и только
тогда, когда xk = yk для всех k = 1, . . . , n. Вектор, у которого все
компоненты равны нулю, будем называть нулевым и обозначать сим-
волом 0.
    Вектор ik , у которого компонента с номером k равна единице, а все
остальные компоненты — нули, будем называть единичным. В про-
странстве Cn есть ровно n единичных векторов: i1 , i2 , . . . , in .
    На пространстве Cn вводятся линейные операции: умножение
векторов на комплексные числа (скаляры) и сложение векторов.
    Именно, по определению для любого комплексного числа α и лю-
бого x ∈ Cn положим

                       αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ).
      Для любых x, y ∈ Cn по определению

                x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ).
    Отметим, что, фактически, мы уже встречались с таким линей-
ным пространством, а именно, множество всех матриц размера m × n
с введенными на нем операциями умножения матрицы на число и
сложения двух матриц естественно интерпретировать как простран-
ство Cmn векторов длины mn. Векторы записывались в виде прямо-
угольных таблиц, но с точки зрения операций умножения вектора на
число и сложения векторов это не имеет значения.
    Для линейных операций, введенных на пространстве Cn , также
справедливы свойства, выраженные равенствами 1)–8) с. 99.