Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 105 стр.

104                                   Глава 4. Векторные пространства


определена операция сложения, т. е. определен элемент z = x+y ∈ X,
называемый суммой элементов x, y; для любого элемента x ∈ X и лю-
бого вещественного числа α определен элемент αx ∈ X, называемый
произведением α и x. Предполагается, что для этих двух операций
выполнены аксиомы линейного пространства, выражаемые равен-
ствами, аналогичными равенствам 1)–8), с. 100:
    1) x + y = y + x — коммутативность операции сложения;
    2) (x+y)+z = x+(y+z) — ассоциативность операции сложения;
    3) существует единственный элемент 0 ∈ X такой, что x + 0 = x
для любого элемента x ∈ X; элемент 0 называют нулевым элементом
пространства X;
    4) для любого элемента x ∈ X существует единственный эле-
мент x0 такой, что x+x0 = 0; элемент x0 называют противоположным
элементу x;
    5) α(x + y) = αx + αy — дистрибутивность по сложению векто-
ров;
    6) (α + β)x = αx + βx — дистрибутивность по сложению скаля-
ров;
    7) (αβ)x = α(βx) — ассоциативность по умножению скаляров;
    8) 1x = x — нейтральность единичного скаляра.
    Если при определении пространства X допускается умножение на
комплексные числа, то X называется линейным пространством над
полем комплексных чисел, или комплексным линейным простран-
ством. При этом предполагается, что выполняются аксиомы 1)–8).
    Элементы линейного пространства X часто будем называть век-
торами, а само пространство — векторным.
    В дальнейшем на протяжении всей книги буквам X, Y, Z бу-
дем обозначать линейные пространства. Если не оговорено против-
ное, пространства будут предполагаться комплексными.
      2. Приведем примеры линейных пространств.
    Упражнение. Проверить, что вводимые ниже множества дей-
ствительно являются линейными пространствами, т. е. для опреде-
ленных на них операций выполняются аксиомы 1)–8). В некоторых
случаях мы делаем необходимые указания.
    1) Множество всех векторов трехмерного евклидова пространства
с введенными обычным образом операциями умножения вектора на
число и сложения векторов (см. § 2, гл. 2) является вещественным
линейным пространством, которое будем обозначать V3 .
    2) Множество всех вещественных функций вещественного пере-
менного, определенных на интервале (a, b) вещественной оси, явля-