Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Линейная зависимость векторов 109
По аналогии с трехмерным евклидовым пространством векто-
ры x, y естественно называть ортогональными, если (x, y) = 0.
Пример. Векторы i
k
, i
l
∈ C
n
при k 6= l ортогональны относительно стандартного
скалярного произведения.
§ 4. Линейная зависимость векторов
1. Линейно зависимые системы векторов. В предыдущем пунк-
те было введено понятие линейной зависимости двух векторов про-
странства X. Обобщая это понятие, будем говорить, что система век-
торов {a
i
}
m
i=1
= {a
1
, a
2
, . . . ,a
m
}, m > 1, линейно зависима, если су-
ществуют числа x
1
, x
2
, . . . , x
m
, среди которых хотя бы одно отлично
от нуля, такие, что
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
m
a
m
= 0. (1.1)
Пример. Система векторов
a
1
=
5
2
1
, a
2
=
−1
3
3
, a
3
=
9
7
5
, a
4
=
3
8
7
из пространства R
3
линейно зависима, так как, положив
x
1
= 4, x
2
= −1, x
3
= −3, x
4
= 2,
получим
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ x
3
a
3
+ x
4
a
4
= 4
5
2
1
−
−1
3
3
− 3
9
7
5
+ 2
3
8
7
=
0
0
0
= 0.
Полезно отметить, что это не единственный набор коэффициентов x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, при
котором линейная комбинация x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ x
3
a
3
+ x
4
a
4
обращается в нуль. Например,
2a
1
+ a
2
− a
3
= 2
5
2
1
+
−1
3
3
−
9
7
5
= 0,
3a
2
+ a
3
− 2a
4
= 3
−1
3
3
+
9
7
5
− 2
3
8
7
= 0.
Определению линейной зависимости векторов удобно придать
матричную формулировку. Будем использовать следующие обозна-
чения: A
m
= {a
1
, a
2
, . . . , a
m
} — упорядоченный набор векторов из
пространства X; для x ∈ C
m
положим
A
m
x = x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
m
a
m
.
§ 4. Линейная зависимость векторов                                                109


   По аналогии с трехмерным евклидовым пространством векто-
ры x, y естественно называть ортогональными, если (x, y) = 0.
    Пример. Векторы ik , il ∈ Cn при k 6= l ортогональны относительно стандартного
скалярного произведения.


                § 4. Линейная зависимость векторов

    1. Линейно зависимые системы векторов. В предыдущем пунк-
те было введено понятие линейной зависимости двух векторов про-
странства X. Обобщая это понятие, будем говорить, что система век-
торов {ai }m       1   2          m
           i=1 = {a , a , . . . ,a }, m > 1, линейно зависима, если су-
ществуют числа x1 , x2 , . . . , xm , среди которых хотя бы одно отлично
от нуля, такие, что
                        x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = 0.                      (1.1)
    Пример. Система векторов
                                                                 
                  5            −1                    9                3
          a1 =  2  , a2 =  3  ,           a3 =  7  ,     a4 =  8 
                  1             3                    5                7

из пространства R3 линейно зависима, так как, положив

                        x1 = 4,   x2 = −1,   x3 = −3,    x4 = 2,

получим
                                                            
                                     5      −1         9         3       0
 x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 = 4  2  −  3  − 3  7  + 2  8  =  0  = 0.
                                     1       3         5         7       0

Полезно отметить, что это не единственный набор коэффициентов x1 , x2 , x3 , x4 , при
котором линейная комбинация x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 обращается в нуль. Например,
                                                   
                                     5          −1           9
                 2a1 + a2 − a3 = 2  2  +  3  −  7  = 0,
                                     1            3          5
                                                   
                                     −1       9         3
                 3a2 + a3 − 2a4 = 3  3  +  7  − 2  8  = 0.
                                      3       5         7

   Определению линейной зависимости векторов удобно придать
матричную формулировку. Будем использовать следующие обозна-
чения: Am = {a1 , a2 , . . . , am } — упорядоченный набор векторов из
пространства X; для x ∈ Cm положим
                      Am x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x m a m .

Страницы