Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Ранг системы векторов. Ранг матрицы 113
Упражнение. Следуя рассуждениям пункта 2.3 доказать тео-
рему 2.5.
Важно отмеить, что матрица X однозначно определяется по си-
стемам векторов A
m
, B
m
. В самом деле, если существует матри-
ца
e
X 6= X такая, что B
m
= A
m
e
X, то A
m
(
e
X −X) = 0, что вследствие
линейной независимости A
m
невозможно, если
e
X 6= X.
§ 5. Ранг системы векторов. Ранг матрицы
1. Фиксируем в пространстве X некоторю систему векто-
ров {a
i
}
m
i=1
. Будем считать, что не все векторы этой системы нуле-
вые. Тогда указанная система обязательно содержит линейно неза-
висимую подсистему векторов. В частности, она сама может быть
линейно независимой.
Подсистема {a
i
k
}
r
k=1
⊂ {a
i
}
m
i=1
, состоящая из линейно независи-
мых векторов, называется максимальной, если добавление к ней лю-
бого нового вектора из {a
i
}
m
i=1
приводит к линейно зависимой системе.
Пример. Рассмотрим систему векторов
a
1
=
2
−2
−4
, a
2
=
1
9
3
, a
3
=
−2
−4
1
, a
4
=
3
7
−1
пространства R
3
. Векторы a
1
, a
2
, очевидно, линейно независимы и образуют макси-
мальную линейно независимую подсистему, так как определители
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1 −2
−2 9 −4
−4 3 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 10 −6
−2 9 −4
0 −15 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1 3
−2 9 7
−4 3 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 10 10
−2 9 7
−0 −15 −15
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
составленные из компонент векторов a
1
, a
2
, a
3
и a
1
, a
2
, a
4
соответственно, равны нулю,
и, следовательно, векторы a
1
, a
2
, a
3
и a
1
, a
2
, a
4
линейно зависимы.
Вообще говоря, система {a
i
}
m
i=1
может содержать несколько мак-
симальных линейно независимых подсистем, однако, справедлива
1.1. Теорема. Любые две максимальные линейно независимые
подсистемы системы {a
i
}
m
i=1
содержат одно и то же количество
векторов.
Доказательство. Заметим, что из определения максимальной
линейно независимой подсистемы непосредственно вытекает, что лю-
бой вектор из {a
i
}
m
i=1
линейно выражается через векторы ее макси-
§ 5. Ранг системы векторов. Ранг матрицы                                              113


   Упражнение. Следуя рассуждениям пункта 2.3 доказать тео-
рему 2.5.
   Важно отмеить, что матрица X однозначно определяется по си-
стемам векторов Am , Bm . В самом деле, если существует матри-
   e 6= X такая, что Bm = Am X,
ца X                         e то Am (X
                                      e − X) = 0, что вследствие
линейной независимости Am невозможно, если Xe 6= X.

            § 5. Ранг системы векторов. Ранг матрицы

    1. Фиксируем в пространстве X некоторю систему векто-
ров {ai }m
         i=1 . Будем считать, что не все векторы этой системы нуле-
вые. Тогда указанная система обязательно содержит линейно неза-
висимую подсистему векторов. В частности, она сама может быть
линейно независимой.
    Подсистема {aik }rk=1 ⊂ {ai }mi=1 , состоящая из линейно независи-
мых векторов, называется максимальной, если добавление к ней лю-
бого нового вектора из {ai }m
                            i=1 приводит к линейно зависимой системе.
    Пример. Рассмотрим систему векторов
                                                                 
                  2             1          −2                         3
         a1 =  −2  , a2 =  9  , a3 =  −4  ,              a4 =  7 
                −4              3           1                        −1

пространства R3 . Векторы a1 , a2 , очевидно, линейно независимы и образуют макси-
мальную линейно независимую подсистему, так как определители
                          ¯              ¯ ¯              ¯
                          ¯ 2 1 −2¯ ¯ 0             10 −6¯¯
                          ¯              ¯ ¯
                          ¯−2 9 −4¯ = ¯−2            9 −4¯¯ ,
                          ¯              ¯ ¯
                          ¯−4 3        1 ¯    ¯ 0 −15   9¯
                         ¯              ¯ ¯                 ¯
                         ¯ 2 1        3¯¯ ¯¯ 0     10   10¯¯
                         ¯
                         ¯−2 9        7¯¯ = ¯¯−2    9    7 ¯¯ ,
                         ¯
                         ¯−4 3 −1¯ ¯−0 −15 −15¯
составленные из компонент векторов a1 , a2 , a3 и a1 , a2 , a4 соответственно, равны нулю,
и, следовательно, векторы a1 , a2 , a3 и a1 , a2 , a4 линейно зависимы.

   Вообще говоря, система {ai }m
                               i=1 может содержать несколько мак-
симальных линейно независимых подсистем, однако, справедлива
   1.1. Теорема. Любые две максимальные линейно независимые
подсистемы системы {ai }m
                        i=1 содержат одно и то же количество
векторов.
   Доказательство. Заметим, что из определения максимальной
линейно независимой подсистемы непосредственно вытекает, что лю-
бой вектор из {ai }m
                   i=1 линейно выражается через векторы ее макси-

Страницы