Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

116 Глава 4. Векторные пространства
чисел 1, 2, . . . , p. Он равен нулю как определитель с двумя равными
строками. Разлагая ∆
p+1
по элементам последней строки, получим
α
1
a
i,1
+ α
2
a
i,2
+ ··· + α
p
a
i,p
+ ∆
p
a
i,p+1
= 0, i = 1, . . . , p. (2.3)
Равенства (2.2), (2.3) означают, что p + 1-й столбец матрицы A —
линейная комбинация комбинация предыдущих. Поскольку по пред-
положению все столбцы матрицы A линейно независимы, остается
принять, что, переставляя соответствующим образом строки матри-
цы A, получим, что определитель ∆
r
не нуль. ¤
Доказательство теоремы 2.1. По определению ранга системы
векторов можно указать r
c
линейно независимых столбцов матри-
цы A, причем, очевидно, r
c
6 n, так как длина столбца матрицы
равна n.
Поскольку перестановки столбцов не меняют величины r
c
, то, не
ограничивая общности рассуждений, можно считать, что первые r
c
столбцов матрицы A образуют максимальную линейно независимую
систему.
В соответствии с леммой 2.2 можно так переставить строки мат-
рицы A, что определитель ∆
r
c
, образованный из элементов первых r
c
строк и первых r
c
столбцов матрицы A, будет не равен нулю.
Понятно, что строки определителя ∆
r
c
линейно независимы, но
тогда и первые r
c
строк матрицы A линейно независимы. Таким об-
разом, установлено, что r
s
> r
c
.
Транспонируем матрицу A и повторим все рассуждения. Получим
неравенство r
s
6 r
c
, следовательно, r
s
= r
c
. ¤
2.3. Опираясь на теорему 2.1, можно определить ранг матри-
цы, как максимальное число линейно независимых столбцов матри-
цы, или, что все равно, как максимальное число линейно независимых
строк матрицы. Ранг матрицы A будем обозначать через rank(A).
Ясно, что
rank(A) = rank(A
T
) (2.4)
для любой матрицы A.
Упражнение. Покажите, что
rank(A) = rank(A
∗
) (2.5)
для любой матрицы A.
Квадратная матрица порядка n невырождена тогда и только то-
гда, когда rank(A) = n.
116                                               Глава 4. Векторные пространства


чисел 1, 2, . . . , p. Он равен нулю как определитель с двумя равными
строками. Разлагая ∆p+1 по элементам последней строки, получим
      α1 ai,1 + α2 ai,2 + · · · + αp ai,p + ∆p ai,p+1 = 0, i = 1, . . . , p.   (2.3)
   Равенства (2.2), (2.3) означают, что p + 1-й столбец матрицы A —
линейная комбинация комбинация предыдущих. Поскольку по пред-
положению все столбцы матрицы A линейно независимы, остается
принять, что, переставляя соответствующим образом строки матри-
цы A, получим, что определитель ∆r не нуль. ¤
    Доказательство теоремы 2.1. По определению ранга системы
векторов можно указать rc линейно независимых столбцов матри-
цы A, причем, очевидно, rc 6 n, так как длина столбца матрицы
равна n.
    Поскольку перестановки столбцов не меняют величины rc , то, не
ограничивая общности рассуждений, можно считать, что первые rc
столбцов матрицы A образуют максимальную линейно независимую
систему.
    В соответствии с леммой 2.2 можно так переставить строки мат-
рицы A, что определитель ∆rc , образованный из элементов первых rc
строк и первых rc столбцов матрицы A, будет не равен нулю.
    Понятно, что строки определителя ∆rc линейно независимы, но
тогда и первые rc строк матрицы A линейно независимы. Таким об-
разом, установлено, что rs > rc .
    Транспонируем матрицу A и повторим все рассуждения. Получим
неравенство rs 6 rc , следовательно, rs = rc . ¤
    2.3. Опираясь на теорему 2.1, можно определить ранг матри-
цы, как максимальное число линейно независимых столбцов матри-
цы, или, что все равно, как максимальное число линейно независимых
строк матрицы. Ранг матрицы A будем обозначать через rank(A).
    Ясно, что
                         rank(A) = rank(AT )                   (2.4)
для любой матрицы A.
      Упражнение. Покажите, что
                               rank(A) = rank(A∗ )                             (2.5)
для любой матрицы A.
    Квадратная матрица порядка n невырождена тогда и только то-
гда, когда rank(A) = n.

Страницы