Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Критерии линейной независимости. Ортогональные системы 119
1.1. Если пространство X евклидово, можно сформулировать
следующий, во многих случаях удобный, критерий линейной незави-
симости системы векторов.
Пусть дана система векторов {a
i
}
m
i=1
из пространства X. Постро-
им квадратную матрицу
G =
(a
1
, a
1
) (a
2
, a
1
) . . . (a
m
, a
1
)
(a
1
, a
2
) (a
2
, a
2
) . . . (a
m
, a
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a
1
, a
m
) (a
2
, a
m
) . . . (a
m
, a
m
)
(1.1)
порядка m. Матрица G называется матрицей Грама системы векто-
ров {a
i
}
m
i=1
.
Отметим, что поскольку (a
k
, a
l
) =
(a
l
, a
k
), то матрица Грама лю-
бой системы векторов — эрмитова матрица (см. с. 87).
1.2. Теорема. Для того, чтобы система векторов {a
i
}
m
i=1
бы-
ла линейно независима необходимо и достаточно, чтобы ее матри-
ца Грама была невырожденной.
Доказательство. Пусть матрица Грама G невырождена. Тогда
система {a
i
}
m
i=1
линейно независима. Действительно, если
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
m
a
m
= 0,
то
(x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
m
a
m
, a
k
) = 0, k = 1, . . . , m.
Записывая эти равенства более подробно получаем
x
1
(a
1
, a
k
) + x
2
(a
2
, a
k
) + ··· + x
m
(a
m
, a
k
) = 0, k = 1, . . . , m. (1.2)
Система (1.2) — однородная система уравнений относительно неиз-
вестных x
1
, x
2
, . . . , x
m
с матрицей G. Поскольку матрица G невы-
рождена, эта система имеет только тривиальное решение, следова-
тельно, x
1
, x
2
, . . . , x
m
= 0.
Обратно, пусть система {a
i
}
m
i=1
линейно независима. Составим ли-
нейную комбинацию столбцов матрицы G с некоторым коэффициен-
тами x
1
, x
2
, . . . , x
m
. Приравнивая эту линейную комбинацию нулю,
получим
x
1
(a
1
, a
k
) + x
2
(a
2
, a
k
) + ··· + x
m
(a
m
, a
k
) = 0, k = 1, . . . , m. (1.3)
Умножим почленно равенство с номером k на x
k
, затем сложим
почленно полученные равенства. После элементарных преобразова-
§ 6. Критерии линейной независимости. Ортогональные системы                          119


   1.1. Если пространство X евклидово, можно сформулировать
следующий, во многих случаях удобный, критерий линейной незави-
симости системы векторов.
   Пусть дана система векторов {ai }m    i=1 из пространства X. Постро-
им квадратную матрицу
                                                          
                    (a1 , a1 ) (a2 , a1 ) . . . (am , a1 )
                  (a1 , a2 ) (a2 , a2 ) . . . (am , a2 ) 
             G=  .............................. 
                                                                  (1.1)
                    (a1 , am ) (a2 , am ) . . . (am , am )

порядка m. Матрица G называется матрицей Грама системы векто-
ров {ai }m
         i=1 .
   Отметим, что поскольку (ak , al ) = (al , ak ), то матрица Грама лю-
бой системы векторов — эрмитова матрица (см. с. 87).
    1.2. Теорема. Для того, чтобы система векторов {ai }mi=1 бы-
ла линейно независима необходимо и достаточно, чтобы ее матри-
ца Грама была невырожденной.
    Доказательство. Пусть матрица Грама G невырождена. Тогда
система {ai }m
             i=1 линейно независима. Действительно, если

                            x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = 0,
то
              (x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am , ak ) = 0,      k = 1, . . . , m.
Записывая эти равенства более подробно получаем
     x1 (a1 , ak ) + x2 (a2 , ak ) + · · · + xm (am , ak ) = 0,   k = 1, . . . , m. (1.2)
Система (1.2) — однородная система уравнений относительно неиз-
вестных x1 , x2 , . . . , xm с матрицей G. Поскольку матрица G невы-
рождена, эта система имеет только тривиальное решение, следова-
тельно, x1 , x2 , . . . , xm = 0.
    Обратно, пусть система {ai }m   i=1 линейно независима. Составим ли-
нейную комбинацию столбцов матрицы G с некоторым коэффициен-
тами x1 , x2 , . . . , xm . Приравнивая эту линейную комбинацию нулю,
получим
     x1 (a1 , ak ) + x2 (a2 , ak ) + · · · + xm (am , ak ) = 0,   k = 1, . . . , m. (1.3)
Умножим почленно равенство с номером k на xk , затем сложим
почленно полученные равенства. После элементарных преобразова-

Страницы