ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
126 Глава 4. Векторные пространства
следовательно, x =
e
E
n
T
−1
ξ, а это означает, что
˜
ξ = T
−1
ξ. (4.3)
5. Отметим, что в пространстве X
n
существует сколько угод-
но базисов. Действительно, если E
n
— базис, то система векторов
˜
E
n
= E
n
T , где T — произвольная невырожденная матрица, также
является базисом.
Пример. Пусть векторы e
1
, e
2
, e
3
образуют базис в трехмерном пространстве X
3
.
Рассмотрим векторы
˜e
1
= 5e
1
− e
2
− 2e
3
,
˜e
2
= 2e
1
+ 3e
2
,
˜e
3
= −2e
1
+ e
2
+ e
3
.
Записывая эти равенства в матричном виде, получим
˜
E
3
= E
3
T , где
˜
E
3
= {˜e
1
, ˜e
2
, ˜e
3
},
E
3
= {e
1
, e
2
, e
3
},
T =
5 2 −2
−1 3 1
−2 0 1
.
Нетрудно видеть, что
det T =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 2 −2
−1 3 1
−2 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 −2
1 3 1
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1,
следовательно, матрица T невырождена. Поэтому векторы ˜e
1
, ˜e
2
, ˜e
3
также образуют
базис пространства X
3
. Рассмотрим вектор a = e
1
+ 4e
2
− e
3
. Его координатами в
базисе E
3
являются числа ξ
1
= 1, ξ
2
= 4, ξ
3
= −1, т. е. a = E
3
ξ, где ξ = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
).
Найдем координаты того же вектора, но в базисе
˜
E
3
. Вычислим матрицу T
−1
. Получим:
T
−1
=
3 −2 8
−1 1 −3
6 −4 17
,
и, следовательно,
˜
ξ = T
−1
ξ =
3 −2 8
−1 1 −3
6 −4 17
1
4
−1
=
−13
6
−27
,
т. е. a = −13˜e
1
+ 6˜e
2
− 27˜e
3
. Мы нашли, таким образом, представление вектора a в
базисе
˜
E
3
.
6. Пусть e — произвольный ненулевой вектор евклидова про-
странства X
n
, n > 1. Понятно что существует некоторый вектор f
2
непропорциональный e, затем можно указать вектор f
3
так, чтобы
векторы e, f
2
, f
3
были линейно независимы. Продолжая этот про-
цесс, получим базис пространства X
n
, включающий в себя вектор e.
Применяя затем процесс ортогонализации Грама — Шмидта, можно
построить ортогональный базис пространства X
n
, содержащий век-
тор e.
126 Глава 4. Векторные пространства
следовательно, x = Een T −1 ξ, а это означает, что
ξ˜ = T −1 ξ. (4.3)
5. Отметим, что в пространстве Xn существует сколько угод-
но базисов. Действительно, если En — базис, то система векторов
E˜n = En T , где T — произвольная невырожденная матрица, также
является базисом.
Пример. Пусть векторы e1 , e2 , e3 образуют базис в трехмерном пространстве X3 .
Рассмотрим векторы
ẽ1 = 5e1 − e2 − 2e3 ,
ẽ2 = 2e1 + 3e2 ,
ẽ3 = −2e1 + e2 + e3 .
Записывая эти равенства в матричном виде, получим E˜3 = E3 T , где E˜3 = {ẽ1 , ẽ2 , ẽ3 },
E3 = {e1 , e2 , e3 },
5 2 −2
T = −1 3 1 .
−2 0 1
Нетрудно видеть, что
¯ ¯ ¯ ¯
¯ 5 2 −2¯ ¯1 2 −2¯
¯ ¯ ¯ ¯
det T = ¯¯−1 3 1¯¯ = ¯¯1 3 1¯¯ = 1,
¯−2 0 1 ¯ ¯0 0 1¯
следовательно, матрица T невырождена. Поэтому векторы ẽ1 , ẽ2 , ẽ3 также образуют
базис пространства X3 . Рассмотрим вектор a = e1 + 4e2 − e3 . Его координатами в
базисе E3 являются числа ξ1 = 1, ξ2 = 4, ξ3 = −1, т. е. a = E3 ξ, где ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).
Найдем координаты того же вектора, но в базисе E˜3 . Вычислим матрицу T −1 . Получим:
3 −2 8
T −1 = −1 1 −3 ,
6 −4 17
и, следовательно,
3 −2 8 1 −13
ξ˜ = T −1 ξ = −1 1 −3 4 = 6 ,
6 −4 17 −1 −27
т. е. a = −13ẽ1 + 6ẽ2 − 27ẽ3 . Мы нашли, таким образом, представление вектора a в
базисе E˜3 .
6. Пусть e — произвольный ненулевой вектор евклидова про-
странства Xn , n > 1. Понятно что существует некоторый вектор f2
непропорциональный e, затем можно указать вектор f3 так, чтобы
векторы e, f2 , f3 были линейно независимы. Продолжая этот про-
цесс, получим базис пространства Xn , включающий в себя вектор e.
Применяя затем процесс ортогонализации Грама — Шмидта, можно
построить ортогональный базис пространства Xn , содержащий век-
тор e.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- …
- следующая ›
- последняя »
