Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

130 Глава 4. Векторные пространства
3) Покажем, что полиномы
ϕ
0
(z) ≡ 1, ϕ
1
(z) = (z −z
0
), ϕ
2
(z) = (z −z
0
)(z −z
1
), . . . ,
ϕ
n
(z) = (z −z
0
)(z −z
1
) ···(z −z
n−1
), (11.1)
где z
0
, z
1
, . . . , z
n
— произвольные попарно различные числа, образу-
ют базис. Как и в случае базиса Лагранжа, достаточно установить,
что система уравнений
c
0
ϕ
0
(z
j
) + c
1
ϕ
1
(z
j
) + ··· + c
n
ϕ
0
(z
j
) = h
j
, j = 0, 1, . . . , n, (11.2)
имеет единственное решение при любых h
1
, h
2
, . . . h
n
, но это очевид-
но, так как система (11.2) треугольная:
c
0
= h
0
,
c
0
+ c
1
(z
1
− z
0
) = h
1
,
c
0
+ c
1
(z
2
− z
0
) + c
2
(z
2
− z
0
)(z
2
− z
1
) = h
2
, (11.3)
···················································
c
0
+ c
1
(z
n
− z
0
) + ··· + c
n
(z
n
− z
0
)(z
n
− z
1
) ···(z
n
− z
n−1
) = h
n
,
причем коэффициенты, стоящие на диагонали, отличны от нуля. Ба-
зис (11.1) называют базисом Ньютона.
§ 8. Подпространства
1. Множество L векторов линейного пространства X называется
подпространством, если из того, что векторы x, y принадлежат L
вытекает, что вектор αx + βy при любых комплексных числах α, β
также принадлежит множеству L.
Тривиальные примеры подпространств: все пространство X явля-
ется подпространством; множество, состоящее только из одного век-
тора, равного нулю, является подпространством.
Поскольку по определению наряду с вектором x подпространству
должен принадлежать и вектор x −x, то всякое подпространство со-
держит нулевой вектор.
Упражнения
1) Пусть a
1
, a
2
, . . . , a
m
, m > 1, — произвольным образом фик-
сированные векторы пространства X. Докажите что множество всех
линейных комбинаций x
1
a
1
+x
2
a
2
+···+x
m
a
m
— подпространство. Го-
ворят, что это подпространство натянуто на векторы a
1
, a
2
, . . . , a
m
.
2) Пусть a
1
, a
2
— векторы пространства X. Множество L векторов
вида a
1
+ αa
2
, где α пробегает множество всех комплексных чисел,
130                                                  Глава 4. Векторные пространства


      3) Покажем, что полиномы

 ϕ0 (z) ≡ 1, ϕ1 (z) = (z − z0 ), ϕ2 (z) = (z − z0 )(z − z1 ), . . . ,
                          ϕn (z) = (z − z0 )(z − z1 ) · · · (z − zn−1 ), (11.1)
где z0 , z1 , . . . , zn — произвольные попарно различные числа, образу-
ют базис. Как и в случае базиса Лагранжа, достаточно установить,
что система уравнений
  c0 ϕ0 (zj ) + c1 ϕ1 (zj ) + · · · + cn ϕ0 (zj ) = hj ,   j = 0, 1, . . . , n, (11.2)
имеет единственное решение при любых h1 , h2 , . . . hn , но это очевид-
но, так как система (11.2) треугольная:
      c0 = h 0 ,
      c0 + c1 (z1 − z0 ) = h1 ,
      c0 + c1 (z2 − z0 ) + c2 (z2 − z0 )(z2 − z1 ) = h2 ,                        (11.3)
      ···················································
      c0 + c1 (zn − z0 ) + · · · + cn (zn − z0 )(zn − z1 ) · · · (zn − zn−1 ) = hn ,
причем коэффициенты, стоящие на диагонали, отличны от нуля. Ба-
зис (11.1) называют базисом Ньютона.

                             § 8. Подпространства

    1. Множество L векторов линейного пространства X называется
подпространством, если из того, что векторы x, y принадлежат L
вытекает, что вектор αx + βy при любых комплексных числах α, β
также принадлежит множеству L.
    Тривиальные примеры подпространств: все пространство X явля-
ется подпространством; множество, состоящее только из одного век-
тора, равного нулю, является подпространством.
    Поскольку по определению наряду с вектором x подпространству
должен принадлежать и вектор x − x, то всякое подпространство со-
держит нулевой вектор.
   Упражнения
   1) Пусть a1 , a2 , . . . , am , m > 1, — произвольным образом фик-
сированные векторы пространства X. Докажите что множество всех
линейных комбинаций x1 a1 +x2 a2 +· · ·+xm am — подпространство. Го-
ворят, что это подпространство натянуто на векторы a1 , a2 , . . . , am .
   2) Пусть a1 , a2 — векторы пространства X. Множество L векторов
вида a1 + αa2 , где α пробегает множество всех комплексных чисел,

Страницы