Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Подпространства 135
что можно записать так:
|x − z|
2
= |x − y|
2
+ 2 Re(x − y, h) + |h|
2
. (2.3)
Неравенство |x − y| 6 |x −z| эквивалентно неравенству
2 Re(x − y, h) + |h|
2
> 0. (2.4)
Таким образом, для того, чтобы вектор y ∈ L был наилучшим
приближением к вектору x ∈ X необходимо и достаточно, чтобы для
любого вектора h ∈ L выполнялось неравенство (2.4).
Неравенство (2.4) выполнено для всех h ∈ L, следовательно, оно
сохраняется при замене h на th
1
, где h
1
= (x − y, h)h, а t — веще-
ственное число. При такой замене неравенство (2.4) принимает вид
2t|(x − y, h)|
2
+ t
2
|h
1
|
2
> 0. (2.5)
Неравенство (2.5) может быть выполнено для всех вещественных t
лишь при условии, что дискриминант квадратного трехчлена в его
левой части неположителен. Это эквивалентно тому, что (x−y, h) = 0.
Итак, для того чтобы вектор y ∈ L был наилучшим приближени-
ем к вектору x ∈ X необходимо и достаточно, чтобы
(x − y, h) = 0 для любого h ∈ L, (2.6)
иными словами, вектор x −y должен быть ортогонален подпростран-
ству L. Геометрически этот вывод вполне очевиден (см. рис. 1).
Рис. 1. К доказательству теоремы 2.1.
Покажем, что вектор y, удовлетворяющий условию (2.6), одно-
значно определяется по вектору x. Пусть {e
k
}
m
k=1
— базис подпро-
странства L. Условие (2.6) эквивалентно тому, что
(x − y, e
k
) = 0, k = 1, . . . , m. (2.7)
Представим y в виде разложения по базису: y =
m
P
i=1
η
i
e
i
. Тогда из (2.7)
получаем, что
³
m
X
i=1
η
i
e
i
, e
k
´
= (x, e
k
), k = 1, . . . , m.
§ 8. Подпространства                                                     135


что можно записать так:
               |x − z|2 = |x − y|2 + 2 Re(x − y, h) + |h|2 .            (2.3)
Неравенство |x − y| 6 |x − z| эквивалентно неравенству
                           2 Re(x − y, h) + |h|2 > 0.                   (2.4)
    Таким образом, для того, чтобы вектор y ∈ L был наилучшим
приближением к вектору x ∈ X необходимо и достаточно, чтобы для
любого вектора h ∈ L выполнялось неравенство (2.4).
    Неравенство (2.4) выполнено для всех h ∈ L, следовательно, оно
сохраняется при замене h на th1 , где h1 = (x − y, h)h, а t — веще-
ственное число. При такой замене неравенство (2.4) принимает вид
                          2t|(x − y, h)|2 + t2 |h1 |2 > 0.              (2.5)
Неравенство (2.5) может быть выполнено для всех вещественных t
лишь при условии, что дискриминант квадратного трехчлена в его
левой части неположителен. Это эквивалентно тому, что (x−y, h) = 0.
   Итак, для того чтобы вектор y ∈ L был наилучшим приближени-
ем к вектору x ∈ X необходимо и достаточно, чтобы
                  (x − y, h) = 0 для любого h ∈ L,                     (2.6)
иными словами, вектор x − y должен быть ортогонален подпростран-
ству L. Геометрически этот вывод вполне очевиден (см. рис. 1).




                        Рис. 1. К доказательству теоремы 2.1.


   Покажем, что вектор y, удовлетворяющий условию (2.6), одно-
значно определяется по вектору x. Пусть {ek }m k=1 — базис подпро-
странства L. Условие (2.6) эквивалентно тому, что
                       (x − y, ek ) = 0,
                                    k = 1, . . . , m.                   (2.7)
                                                   Pm
Представим y в виде разложения по базису: y =          ηi ei . Тогда из (2.7)
                                                   i=1
получаем, что
              ³Xm         ´
                  ηi e , e = (x, ek ), k = 1, . . . , m.
                      i k

                  i=1

Страницы