Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 8. Подпространства 137
равны нулю. Поэтому, ранг матрицы A равен двум. Из векторов a
1
, a
2
, a
3
любые два
линейно независимы и, следовательно, образуют базис подпространства L. Примем за
базис подпространства L векторы a
1
, a
2
. Тогда компоненты η
1
, η
2
вектора y — проекции
вектора x на L в базисе a
1
, a
2
— могут быть найдены как решение системы уравнений
η
1
(a
1
, a
1
) + η
2
(a
2
, a
1
) = (x, a
1
), (2.10)
η
1
(a
1
, a
2
) + η
2
(a
2
, a
2
) = (x, a
2
). (2.11)
Вычисляя скалярные произведения, получим (a
1
, a
1
) = 9 + 49 + 36 = 94, (a
2
, a
1
) = 30,
(a
2
, a
2
) = 30, (x, a
1
) = −126, (x, a
2
) = −30. Решая систему (2.10), (2.11), найдем, что
η
1
= −3/2, η
2
= 1/2, т. е. y = (−3/2)a
1
+ (1/2)a
2
= (5, 2, −9, −8) — ортогональная
проекция вектора x на подпространство L, z = x − y = (9, −5, 3, 1) — перпендикуляр,
опущенный из точки x на подпространство L.
3. Ортогональное разложение евклидова пространства X. Пусть
вектор e ∈ X, e 6= 0. Обозначим через π
e
множество всех векто-
ров пространства X, ортогональных e. Нетрудно убедиться что π
e
—
подпространство пространства X. Это подпространство называют ги-
перплоскостью, ортогональной вектору e.
3.1. Теорема (об ортогональном разложении). Пусть x —
произвольный, e — ненулевой векторы евклидова пространства X
n
.
Существуют вектор y ∈ π
e
и число µ такие, что
x = µe + y, (3.1)
причем µ и y однозначно определяются по вектору x. Кроме того,
|x − y| 6 |x − z| для любого z ∈ π
e
, (3.2)
т. е. y — элемент наилучшего приближения к вектору x из подпро-
странства π
e
.
Доказательство. По предположению e 6= 0, значит можно по-
строить ортогональный базис
e, e
2
, e
3
, . . . , e
n
пространства X
n
, причем векторы e
2
, e
3
, . . . , e
n
, очевидно, образуют
базис подпространство π
e
. Отсюда сразу следует, что любой вектор,
ортогональный π
e
пропорционален e. Пусть y ∈ π
e
— проекция векто-
ра x на подпространство π
e
(см. теорему 2.1 и рис. 2). Представим x
в виде
x = (x − y) + y.
Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает, что вектор x −y ортогона-
лен π
e
, значит x − y = µe для некоторого µ, т. е. представление (3.1)
§ 8. Подпространства                                                                   137


равны нулю. Поэтому, ранг матрицы A равен двум. Из векторов a1 , a2 , a3 любые два
линейно независимы и, следовательно, образуют базис подпространства L. Примем за
базис подпространства L векторы a1 , a2 . Тогда компоненты η1 , η2 вектора y — проекции
вектора x на L в базисе a1 , a2 — могут быть найдены как решение системы уравнений

                             η1 (a1 , a1 ) + η2 (a2 , a1 ) = (x, a1 ),               (2.10)
                                  1    2          2   2           2
                             η1 (a , a ) + η2 (a , a ) = (x, a ).                    (2.11)

Вычисляя скалярные произведения, получим (a1 , a1 ) = 9 + 49 + 36 = 94, (a2 , a1 ) = 30,
(a2 , a2 ) = 30, (x, a1 ) = −126, (x, a2 ) = −30. Решая систему (2.10), (2.11), найдем, что
η1 = −3/2, η2 = 1/2, т. е. y = (−3/2)a1 + (1/2)a2 = (5, 2, −9, −8) — ортогональная
проекция вектора x на подпространство L, z = x − y = (9, −5, 3, 1) — перпендикуляр,
опущенный из точки x на подпространство L.

   3. Ортогональное разложение евклидова пространства X. Пусть
вектор e ∈ X, e 6= 0. Обозначим через πe множество всех векто-
ров пространства X, ортогональных e. Нетрудно убедиться что πe —
подпространство пространства X. Это подпространство называют ги-
перплоскостью, ортогональной вектору e.

   3.1. Теорема (об ортогональном разложении). Пусть x —
произвольный, e — ненулевой векторы евклидова пространства Xn .
Существуют вектор y ∈ πe и число µ такие, что
                                           x = µe + y,                               (3.1)
причем µ и y однозначно определяются по вектору x. Кроме того,
                     |x − y| 6 |x − z| для любого z ∈ πe ,                           (3.2)
т. е. y — элемент наилучшего приближения к вектору x из подпро-
странства πe .
   Доказательство. По предположению e 6= 0, значит можно по-
строить ортогональный базис
                                      e, e2 , e3 , . . . , en
пространства Xn , причем векторы e2 , e3 , . . . , en , очевидно, образуют
базис подпространство πe . Отсюда сразу следует, что любой вектор,
ортогональный πe пропорционален e. Пусть y ∈ πe — проекция векто-
ра x на подпространство πe (см. теорему 2.1 и рис. 2). Представим x
в виде
                          x = (x − y) + y.
Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает, что вектор x − y ортогона-
лен πe , значит x − y = µe для некоторого µ, т. е. представление (3.1)

Страницы