Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 140 стр.

                             Глава 5
          Линейные операторы и уравнения


           § 1. Линейные операторы. Изоморфизм
                 конечномерных пространств

    1. Линейные операторы. Пусть X, Y — линейные пространства.
Будем говорить, что задано отображение ϕ пространства X в про-
странство Y (пишут ϕ : X → Y), если каждому вектору x из X по-
ставлен однозначно в соответствие вектор ϕ(x) из Y. Говорят также
в этом случае, что на пространстве X задана функция ϕ со значе-
ниями в Y. Подчеркнем, что при этом, вообще говоря, не каждый
вектор из Y должен быть результатом отображения некоторого век-
тора x из X.
    Отображение ϕ называется линейным, если для любых x, y ∈ X
и любых α, β ∈ C
                   ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y).                (1.1)
    В линейной алгебре, почти исключительно, рассматриваются ли-
нейные отображения. Обычно их называют линейными операторами
и обозначают большими латинским буквами. Чаще всего, линейные
операторы будем называть просто операторами. Скобки в обозначе-
ниях действия оператора на вектор, если это не приводят к недоразу-
мениям, не пишут. Так, равенство (1.1) применительно к оператору A
запишется в виде A(αx + βy) = αAx + βAy.
    Из определения линейного отображения сразу вытекает, что
                              A0 = 0
для любого оператора A.
    Если оператор действует из пространства X в пространство X, то
говорят, что он действует в пространстве X или является преобра-
зованием пространства X.
   1.1. Примеры операторов.
   1) Нулевой оператор. Этот оператор переводит все векторы про-
странства X в нулевой вектор пространства Y. Нулевой оператор
обозначают символом 0, так что 0x = 0 для всех x ∈ X