Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 142 стр.

§ 1. Линейные операторы. Изоморфизм конечномерных пространств      141


   3. Действия над операторами. Пусть A, B : X → Y, A, B —
линейные операторы, α, β — числа. Отображение αA + βB : X → Y,
определяемое соотношением
              (αA + βB)x = α(Ax) + β(Bx) ∀ x ∈ X,                (3.1)
называется линейной комбинацией операторов A и B.
   Пусть A : X → Y, B : Y → Z, A, B — линейные операторы.
Отображение BA : X → Z, определяемое соотношением
                      BAx = B(Ax) ∀ x ∈ X,                       (3.2)
называется произведением операторов A и B.
   Упражнение. Показать, что отображения αA + βB, BA — ли-
нейные операторы.

   4. Обратный оператор. Говорят, что линейный оператор A : X → Y
имеет обратный, если существует такой оператор B : Y → X, что
                         BAx = x ∀ x ∈ X,                        (4.1)
                         ABy = y ∀ y ∈ Y.                        (4.2)
Обратный оператор, если он существует, также является линейным
оператором. В самом деле, пусть y 1 , y 2 ∈ Y, α, β ∈ C. Положим
x1 = By 1 , x2 = By 2 . Тогда Ax1 = ABy 1 = y 1 , Ax2 = ABy 2 = y 2 .
Отсюда

 B(αy 1 + βy 2 ) = B(αAx1 + βAx2 ) =
                     = BA(αx1 + βx2 ) = αx1 + βx2 = αBy 1 + βBy 2 .
    Если оператор A имеет обратный, то он осуществляет взаимно
однозначное отображение пространства X на пространство Y. Дей-
ствительно, пусть x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 . Тогда и Ax1 6= Ax2 . В самом
деле, если предположить, что Ax1 = Ax2 , то BAx1 = BAx2 и, зна-
чит, x1 = x2 . Далее, если y ∈ Y, то, полагая x = By, получим, что
Ax = ABy = y, т. е. всякий вектор из Y является результатом дей-
ствия оператора A на некоторый вектор из X.
   Упражнение. Покажите, что линейный оператор не может
иметь двух различных обратных операторов.
    Обратный к оператору A будем обозначать через A−1 . Непосред-
ственно из определения вытекает, что если оператор A−1 существует,
то (A−1 )−1 = A. Оператор, имеющий обратный, будем называть об-
ратимым.