Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Линейные операторы. Изоморфизм конечномерных пространств 143
линейное взаимнооднозначное соответствие пространств C
n
, X
n
осу-
ществляет оператор разложения по любому фиксированному бази-
су E
n
. ¤
Точно так же доказывается, что все вещественные линейные про-
странства X
n
изоморфны пространству R
n
.
Упражнение. Покажите, что конечномерные пространства раз-
личных размерностей не могут быть изоморфными.
Если установлен изоморфизм пространства X и Y, то с точки
зрения выполнения линейных операций над их элементами они ока-
зываются эквивалентными. Так, линейные операции над элементами
любого конечномерного пространства путем введения подходящего
базиса всегда можно свести к линейным операциям над простран-
ством числовых строк (R
n
или C
n
). Такой подход, фактически, нами
уже применялся в § 2 гл. 2, где было установлено взаимнооднознач-
ное соответствие между векторами (направленными отрезками) и их
координатами и показано, что линейные операции над векторами эк-
виваленты операциям над их координатами.
7. Линейные функционалы (линейные формы). Линейное отоб-
ражение пространства X в одномерное пространство Y = C называ-
ется линейным функционалом (линейной формой). Подчеркнем, что
линейный функционал ставит в соответствие каждому вектору x ∈ X
число.
7.1. Теорема Рисса. Пусть l — линейный функционал, задан-
ный на конечномерном евклидовом пространстве X
n
. Тогда суще-
ствует и при том только один вектор u ∈ X
n
такой, что
l(x) = (x, u) ∀x ∈ X
n
. (7.1)
Доказательство. Убедимся сначала, что вектор u определяет-
ся по функционалу l однозначно. Действительно, если предположить,
что существует еще один вектор u
1
∈ X
n
такой, что
l(x) = (x, u
1
) ∀x ∈ X
n
, (7.2)
то вычитая равенства (7.1), (7.2) почленно, получим, что
(x, u
1
− u) = 0 ∀x ∈ X
n
.
В частности, в последнем равенстве можно положить x = u
1
− u и
тогда (u
1
− u, u
1
− u) = 0, т. е. u
1
= u.
§ 1. Линейные операторы. Изоморфизм конечномерных пространств    143


линейное взаимнооднозначное соответствие пространств Cn , Xn осу-
ществляет оператор разложения по любому фиксированному бази-
су En . ¤
   Точно так же доказывается, что все вещественные линейные про-
странства Xn изоморфны пространству Rn .
   Упражнение. Покажите, что конечномерные пространства раз-
личных размерностей не могут быть изоморфными.
    Если установлен изоморфизм пространства X и Y, то с точки
зрения выполнения линейных операций над их элементами они ока-
зываются эквивалентными. Так, линейные операции над элементами
любого конечномерного пространства путем введения подходящего
базиса всегда можно свести к линейным операциям над простран-
ством числовых строк (Rn или Cn ). Такой подход, фактически, нами
уже применялся в § 2 гл. 2, где было установлено взаимнооднознач-
ное соответствие между векторами (направленными отрезками) и их
координатами и показано, что линейные операции над векторами эк-
виваленты операциям над их координатами.
    7. Линейные функционалы (линейные формы). Линейное отоб-
ражение пространства X в одномерное пространство Y = C называ-
ется линейным функционалом (линейной формой). Подчеркнем, что
линейный функционал ставит в соответствие каждому вектору x ∈ X
число.

   7.1. Теорема Рисса. Пусть l — линейный функционал, задан-
ный на конечномерном евклидовом пространстве Xn . Тогда суще-
ствует и при том только один вектор u ∈ Xn такой, что
                       l(x) = (x, u) ∀ x ∈ Xn .                 (7.1)


    Доказательство. Убедимся сначала, что вектор u определяет-
ся по функционалу l однозначно. Действительно, если предположить,
что существует еще один вектор u1 ∈ Xn такой, что
                       l(x) = (x, u1 ) ∀ x ∈ Xn ,               (7.2)
то вычитая равенства (7.1), (7.2) почленно, получим, что
                      (x, u1 − u) = 0 ∀ x ∈ Xn .
В частности, в последнем равенстве можно положить x = u1 − u и
тогда (u1 − u, u1 − u) = 0, т. е. u1 = u.

Страницы