Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов 145
3. Соотношение (1.3) часто бывает полезным записывать в экви-
валентных формах:
A
eq
= Q
−1
m
AE
n
, или A = Q
m
A
eq
E
−1
n
. (3.1)
4. Если A : X
n
→ X
n
, то
AE
n
= E
n
A
e
, (4.1)
или A
e
= E
−1
n
AE
n
, где A
e
— матрица оператора A в базисе {e
k
}
n
k=1
.
5. Отметим два случая, когда матрица оператора не зависит
от выбора базиса. Это — нулевой оператор, его матрица при любом
выборе базисов в пространствах X
n
, Y
m
нулевая, и тождественный
оператор, его матрица — единичная матрица в любом базисе про-
странства X
n
. Поэтому не будет возникать недоразумений, если тож-
дественный оператор, как и единичную матрицу, будем обозначать
через I.
6. Если пространство Y
m
евклидово, можно указать полезные
формулы для вычисления матрицы оператора A : X
n
→ Y
m
. По-
строим по базису Q
m
матрицу Грама G = {(q
j
, g
i
)}
m
i,j=1
. Пусть
G
A
=
(Ae
1
, q
1
) (Ae
2
, q
1
) . . . (Ae
n
, q
1
)
(Ae
1
, q
2
) (Ae
2
, q
2
) . . . (Ae
n
, q
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Ae
1
, q
m
) (Ae
2
, q
m
) . . . (Ae
n
, q
m
)
.
Тогда
G
A
= GA
eq
. (6.1)
Действительно, умножая скалярно обе части уравнения (1.1) на q
l
,
получим
(Ae
i
, q
l
) =
m
X
j=1
a
(eq)
ji
(q
j
, q
l
), i = 1, 2, . . . , n, l = 1, . . . , m. (6.2)
Формула (6.1) — это матричная запись равенств (6.2). Матрица Гра-
ма G невырождена, так как Q
m
— базис, следовательно,
A
eq
= G
−1
G
A
. (6.3)
В случае, когда базис Q
m
ортонормирован, т. е. матрица G единичная,
A
eq
= G
A
. (6.4)
§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов                                     145


   3. Соотношение (1.3) часто бывает полезным записывать в экви-
валентных формах:
                  Aeq = Q−1
                         m AEn ,               или A = Qm Aeq En−1 .                   (3.1)
    4. Если A : Xn → Xn , то
                                       AEn = En Ae ,                                   (4.1)
или Ae = En−1 AEn , где Ae — матрица оператора A в базисе {ek }nk=1 .
    5. Отметим два случая, когда матрица оператора не зависит
от выбора базиса. Это — нулевой оператор, его матрица при любом
выборе базисов в пространствах Xn , Ym нулевая, и тождественный
оператор, его матрица — единичная матрица в любом базисе про-
странства Xn . Поэтому не будет возникать недоразумений, если тож-
дественный оператор, как и единичную матрицу, будем обозначать
через I.
   6. Если пространство Ym евклидово, можно указать полезные
формулы для вычисления матрицы оператора A : Xn → Ym . По-
строим по базису Qm матрицу Грама G = {(q j , g i )}m     i,j=1 . Пусть
                                                              
                  (Ae1 , q 1 ) (Ae2 , q 1 ) . . . (Aen , q 1 )
                 (Ae1 , q 2 ) (Ae2 , q 2 ) . . . (Aen , q 2 ) 
          GA =  .................................. .
                                                               
                  (Ae1 , q m ) (Ae2 , q m ) . . . (Aen , q m )

Тогда
                                       GA = GAeq .                                     (6.1)
Действительно, умножая скалярно обе части уравнения (1.1) на q l ,
получим
                  m
                  X
        i   l            (eq)
    (Ae , q ) =         aji (q j , q l ),     i = 1, 2, . . . , n, l = 1, . . . , m.   (6.2)
                  j=1

Формула (6.1) — это матричная запись равенств (6.2). Матрица Гра-
ма G невырождена, так как Qm — базис, следовательно,
                                      Aeq = G−1 GA .                                   (6.3)
В случае, когда базис Qm ортонормирован, т. е. матрица G единичная,
                                            Aeq = GA .                                 (6.4)

Страницы