Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов 147
Упражнения
1) Определим в пространстве C
n
так называемый оператор T цик-
лического сдвига, полагая
T x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n−1
, x
0
)
для каждого x = (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
) ∈ C
n
. Построить матрицу этого
оператора в базисе Фурье (см. с. 128).
2) Пусть T
n
— линейное пространство функций вида
f
n
(x) = a
0
+
n
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx),
где n > 1 — фиксированное целое число, a
0
, a
k
, b
k
, k = 1, . . . , n —
произвольные вещественные числа, x может принимать любые веще-
ственные значения. Операции сложения функций и умножения функ-
ции на число определены обычным образом. Показать, что функции
1, cos x, sin x cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx
образуют базис этого пространства. Построить матрицу оператора
Df
n
(x) = f
0
n
(x)
в этом базисе.
3) Пусть P
n
— линейное пространство полиномов степени не вы-
ше n с вещественными коэффициентами. Определим на этом про-
странстве линейный оператор A, полагая
Ap
n
(x) = ap
0
n
(x) + b
для любого p
n
∈ P
n
. Здесь a, b — произвольным образом фиксиро-
ванные вещественные числа. Построить матрицу оператора A в бази-
се {1, x, x
2
, . . . , x
n
}.
4) Построить матрицу оператора A из предыдущего примера,
трактуя его как оператор из P
n
в P
n−1
и принимая за базис про-
странства P
k
базис Тейлора {1, (x − c), . . . , (x − c)
k
}, где c — про-
извольным образом фиксированное вещественное число.
5) Определим оператор K, действующий из P
n
в P
n+1
по формуле
Kp
n
(x) =
x
Z
0
p
n
(t)dt.
§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов                  147




   Упражнения
   1) Определим в пространстве Cn так называемый оператор T цик-
лического сдвига, полагая
                     T x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 , x0 )
для каждого x = (x0 , x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Cn . Построить матрицу этого
оператора в базисе Фурье (см. с. 128).
   2) Пусть Tn — линейное пространство функций вида
                                n
                                X
                fn (x) = a0 +         (ak cos kx + bk sin kx),
                                k=1

где n > 1 — фиксированное целое число, a0 , ak , bk , k = 1, . . . , n —
произвольные вещественные числа, x может принимать любые веще-
ственные значения. Операции сложения функций и умножения функ-
ции на число определены обычным образом. Показать, что функции
           1, cos x, sin x cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx
образуют базис этого пространства. Построить матрицу оператора
                             Dfn (x) = fn0 (x)
в этом базисе.
    3) Пусть Pn — линейное пространство полиномов степени не вы-
ше n с вещественными коэффициентами. Определим на этом про-
странстве линейный оператор A, полагая
                          Apn (x) = ap0n (x) + b
для любого pn ∈ Pn . Здесь a, b — произвольным образом фиксиро-
ванные вещественные числа. Построить матрицу оператора A в бази-
се {1, x, x2 , . . . , xn }.
    4) Построить матрицу оператора A из предыдущего примера,
трактуя его как оператор из Pn в Pn−1 и принимая за базис про-
странства Pk базис Тейлора {1, (x − c), . . . , (x − c)k }, где c — про-
извольным образом фиксированное вещественное число.
    5) Определим оператор K, действующий из Pn в Pn+1 по формуле
                                         Zx
                          Kpn (x) =           pn (t)dt.
                                         0

Страницы