Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

146 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
7. Из определения (1.1) сразу же вытекает, что
(αA + βB)
eq
= αA
eq
+ βB
eq
, (7.1)
т. е. линейным операциям на операторами соответствуют линейные
операции над их матрицами.
8. Аналогичное утверждение при определенных условиях спра-
ведливо и для произведения операторов. Будем считать, что в про-
странствах X
n
, Y
m
, Z
p
заданы базисы {e
k
}
n
k=1
, {q
k
}
m
k=1
, {r
k
}
p
k=1
. По-
кажем, что тогда
(BA)
er
= B
qr
A
eq
, (8.1)
т. е. матрица произведения операторов, равна произведению матриц
операторов. Действительно, применяя формулы (3.1), получим
(BA)
er
= R
−1
p
BAE
n
= R
−1
p
R
p
B
qr
Q
−1
m
Q
m
A
eq
E
−1
n
E
n
= B
qr
A
eq
.
Важно подчеркнуть, что здесь при определении матриц операторов A
и B использовался один и тот же базис {q
k
}
m
k=1
. В дальнейшем ука-
занное согласование всегда предполагается выполненным.
Примеры
1) Определим оператор A : C
4
→ C
4
при помощи соотношения
Ax = (x
2
, x
1
, x
3
+ x
4
, x
4
)
для любого x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ C
4
. Построим матрицу оператора A в естественном
базисе (см. с. 123) пространства C
4
. Имеем Ai
1
= (0, 1, 0, 0) = i
2
, Ai
2
= (1, 0, 0, 0) = i
1
,
Ai
3
= (0, 0, 1, 0) = i
3
, Ai
4
= (0, 0, 1, 1) = i
3
+ i
4
, следовательно, матрица оператора A
имеет вид
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
.
2) В трехмерном линейном пространстве Q
2
всех полиномов степени не выше двух
с комплексными коэффициентами определим оператор T при помощи соотношения
T q
2
(z) = q
2
(z + h) для любого элемента q
2
∈ Q
2
. Здесь h — фиксированное комплекс-
ное число (сдвиг). Построим матрицу оператора T , принимая за базис пространства
Q
2
полиномы ϕ
0
(z) ≡ 1, ϕ
1
(z) = z, ϕ
2
(z) = z
2
. Имеем T ϕ
0
= ϕ
0
, Tϕ
1
= hϕ
0
+ ϕ
1
,
T ϕ
2
= h
2
ϕ
0
+ 2hϕ
1
+ ϕ
2
, следовательно, матрица оператора T равна
1 h h
2
0 1 2h
0 0 1
.
Поэтому, если q
2
(z) = a
0
+ a
1
z + a
2
z
2
, то T q
2
(z) = b
0
+ b
1
z + b
2
z
2
, где
b
0
b
1
b
2
=
1 h h
2
0 1 2h
0 0 1
a
0
a
1
a
2
=
a
0
+ ha
1
+ h
2
a
2
a
1
+ 2ha
2
a
2
.
146                                             Глава 5. Линейные операторы и уравнения


      7. Из определения (1.1) сразу же вытекает, что
                              (αA + βB)eq = αAeq + βBeq ,                               (7.1)
т. е. линейным операциям на операторами соответствуют линейные
операции над их матрицами.
   8. Аналогичное утверждение при определенных условиях спра-
ведливо и для произведения операторов. Будем считать, что в про-
                                                                k p
странствах Xn , Ym , Zp заданы базисы {ek }nk=1 , {q k }m
                                                        k=1 , {r }k=1 . По-
кажем, что тогда
                          (BA)er = Bqr Aeq ,                           (8.1)
т. е. матрица произведения операторов, равна произведению матриц
операторов. Действительно, применяя формулы (3.1), получим
       (BA)er = R−1        −1        −1        −1
                 p BAEn = Rp Rp Bqr Qm Qm Aeq En En = Bqr Aeq .

Важно подчеркнуть, что здесь при определении матриц операторов A
и B использовался один и тот же базис {q k }m
                                            k=1 . В дальнейшем ука-
занное согласование всегда предполагается выполненным.
      Примеры
      1) Определим оператор A : C4 → C4 при помощи соотношения

                                     Ax = (x2 , x1 , x3 + x4 , x4 )

для любого x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4 . Построим матрицу оператора A в естественном
базисе (см. с. 123) пространства C4 . Имеем Ai1 = (0, 1, 0, 0) = i2 , Ai2 = (1, 0, 0, 0) = i1 ,
Ai3 = (0, 0, 1, 0) = i3 , Ai4 = (0, 0, 1, 1) = i3 + i4 , следовательно, матрица оператора A
имеет вид                                             
                                            0 1 0 0
                                         1 0 0 0 
                                         0 0 1 1  .
                                            0 0 0 1
      2) В трехмерном линейном пространстве Q2 всех полиномов степени не выше двух
с комплексными коэффициентами определим оператор T при помощи соотношения
T q2 (z) = q2 (z + h) для любого элемента q2 ∈ Q2 . Здесь h — фиксированное комплекс-
ное число (сдвиг). Построим матрицу оператора T , принимая за базис пространства
Q2 полиномы ϕ0 (z) ≡ 1, ϕ1 (z) = z, ϕ2 (z) = z 2 . Имеем T ϕ0 = ϕ0 , T ϕ1 = hϕ0 + ϕ1 ,
T ϕ2 = h2 ϕ0 + 2hϕ1 + ϕ2 , следовательно, матрица оператора T равна
                                               
                                        1 h h2
                                      0 1 2h .
                                        0 0 1

Поэтому, если q2 (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 , то T q2 (z) = b0 + b1 z + b2 z 2 , где
                                                                       
                     b0       1 h h2           a0         a0 + ha1 + h2 a2
                   b1  = 0 1 2h a1  =                    a1 + 2ha2  .
                     b2       0 0 1            a2                         a2

Страницы