Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

144 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
Для доказательства существования вектора u, определяемого
тождеством (7.1), фиксируем в пространстве X
n
некоторый ортонор-
мированный базис {e
k
}
n
k=1
и пусть x =
n
P
k=1
ξ
k
e
k
. Тогда вследствие ли-
нейности функционала l получаем
l(x) =
n
X
k=1
ξ
k
l(e
k
). (7.3)
Положим u =
n
P
k=1
l(e
k
)e
k
. Применяя формулу (8.1), с. 127, будем
иметь, что l(x) = (x, u) для любого x ∈ X
n
. ¤
§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов
1. Матрица оператора. Пусть A : X
n
→ Y
m
линейный опера-
тор. Фиксируем в пространстве X
n
базис E
n
= {e
k
}
n
k=1
, а в простран-
стве Y
m
— базис Q
m
= {q
k
}
m
k=1
.
Представим каждый вектор Ae
i
в виде разложения по базису Q
m
:
Ae
i
=
m
X
j=1
a
(eq)
ji
q
j
, i = 1, 2, . . . , n. (1.1)
Введем в рассмотрение матрицу
A
eq
=
a
(eq)
11
a
(eq)
12
. . . a
(eq)
1n
a
(eq)
21
a
(eq)
22
. . . a
(eq)
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
(eq)
m1
a
(eq)
m2
. . . a
(eq)
mn
. (1.2)
Матрицу A
eq
называют матрицей оператора A. Она однозначно
определяется оператором A и базисами E
n
, Q
m
.
Соотношения (1.1) можно записать более кратко
AE
n
= Q
m
A
eq
. (1.3)
2. Пусть x = E
n
ξ ∈ X
n
, ξ ∈ C
n
. Представим Ax в виде разложе-
ния по базису: Ax = Q
m
η, η ∈ C
m
. Тогда, используя (1.3), получим
Q
m
η = Ax = AE
n
ξ = Q
m
A
eq
ξ,
следовательно,
η = A
eq
ξ. (2.1)
Формула (2.1) показывает, как связаны коэффициенты разложения
векторов x и Ax по базисам пространств X
n
, Y
m
.
144                                 Глава 5. Линейные операторы и уравнения


   Для доказательства существования вектора u, определяемого
тождеством (7.1), фиксируем в пространстве Xn некоторый ортонор-
                                       P
                                       n
мированный базис {ek }nk=1 и пусть x =   ξk ek . Тогда вследствие ли-
                                           k=1
нейности функционала l получаем
                               n
                               X
                        l(x) =   ξk l(ek ).                           (7.3)
                                     k=1
                 P
                 n
Положим u =            l(ek )ek . Применяя формулу (8.1), с. 127, будем
                 k=1
иметь, что l(x) = (x, u) для любого x ∈ Xn . ¤

  § 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов

    1. Матрица оператора. Пусть A : Xn → Ym линейный опера-
тор. Фиксируем в пространстве Xn базис En = {ek }nk=1 , а в простран-
стве Ym — базис Qm = {q k }mk=1 .
    Представим каждый вектор Aei в виде разложения по базису Qm :
                     Xm
                  i        (eq)
               Ae =      aji q j , i = 1, 2, . . . , n.          (1.1)
                          j=1

Введем в рассмотрение матрицу
                                                   
                          (eq) (eq)      (eq)
                         a11 a12 . . . a1n
                        (eq) (eq)                  
                        a21 a22 . . . a(eq)        
                 Aeq =                  2n         .                (1.2)
                        ...................        
                          (eq) (eq)      (eq)
                         am1 am2 . . . amn
Матрицу Aeq называют матрицей оператора A. Она однозначно
определяется оператором A и базисами En , Qm .
   Соотношения (1.1) можно записать более кратко
                                AEn = Qm Aeq .                        (1.3)
   2. Пусть x = En ξ ∈ Xn , ξ ∈ Cn . Представим Ax в виде разложе-
ния по базису: Ax = Qm η, η ∈ Cm . Тогда, используя (1.3), получим
                       Qm η = Ax = AEn ξ = Qm Aeq ξ,
следовательно,
                            η = Aeq ξ.                   (2.1)
Формула (2.1) показывает, как связаны коэффициенты разложения
векторов x и Ax по базисам пространств Xn , Ym .

Страницы