Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

148 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
Построить матрицу оператора K, принимая {1, x, . . . , x
k
} за базис
в пространстве P
k
.
6) Определим так называемый разностный оператор ∆
h
, дей-
ствующий из Q
n
в Q
n−1
по формуле
∆
h
q
n
(z) = q
n
(z + h) − q
n
(z).
Здесь Q
k
— пространство полиномов степени не выше k с ком-
плексными коэффициентами, h — произвольным образом фиксиро-
ванное комплексное число. Построить матрицу оператора ∆
h
, прини-
мая {1, z, . . . , z
k
} за базис в пространстве Q
k
.
9. Матрица оператора A : X
n
→ Y
m
определяется заданием
базисов пространств X
n
, Y
m
. Выясним, как она изменяется при из-
менении базисов. Пусть наряду с базисами {e
k
}
n
k=1
, {q
k
}
m
k=1
заданы
базисы {˜e
k
}
n
k=1
, {˜q
k
}
m
k=1
и им соответствует матрица A
˜e˜q
. Будем счи-
тать известными матрицы T , R перехода к новым базисам, так что
(см. с. 125)
˜
E
n
= E
n
T,
˜
Q
m
= Q
m
R. (9.1)
Используя (3.1), получим A = Q
m
A
eq
E
−1
n
, A
˜e˜q
=
e
Q
−1
m
A
e
E
n
, следова-
тельно, A
˜e˜q
=
e
Q
−1
m
Q
m
A
eq
E
−1
n
e
E
n
. Из (9.1) находим, что
e
Q
−1
m
Q
m
= R
−1
,
а E
−1
n
e
E
n
= T . Таким образом,
A
˜e˜q
= R
−1
A
eq
T. (9.2)
10. Прямоугольные матрицы A
˜e˜q
и A
eq
одинаковых размеров
называют эквивалентными, если существуют невырожденные квад-
ратные матрицы R, T такие, что
RA
˜e˜q
= A
eq
T. (10.1)
10.1. Лемма. Ранги эквивалентных матриц совпадают.
Справедливость леммы непосредственно вытекает из равенств (2.6)
и (2.7), с. 117.
Можно сказать, таким образом, что ранг матрицы оператора ин-
вариантен по отношению к изменению базисов в пространствах X
n
и Y
m
. В связи с этим можно определить ранг оператора A : X
n
→ Y
m
как ранг его матрицы, т. е.
rank(A) = rank(A
eq
). (10.2)
148                               Глава 5. Линейные операторы и уравнения


Построить матрицу оператора K, принимая {1, x, . . . , xk } за базис
в пространстве Pk .
    6) Определим так называемый разностный оператор ∆h , дей-
ствующий из Qn в Qn−1 по формуле
                     ∆h qn (z) = qn (z + h) − qn (z).
Здесь Qk — пространство полиномов степени не выше k с ком-
плексными коэффициентами, h — произвольным образом фиксиро-
ванное комплексное число. Построить матрицу оператора ∆h , прини-
мая {1, z, . . . , z k } за базис в пространстве Qk .

    9. Матрица оператора A : Xn → Ym определяется заданием
базисов пространств Xn , Ym . Выясним, как она изменяется при из-
менении базисов. Пусть наряду с базисами {ek }nk=1 , {q k }m  k=1 заданы
            k n       k m
базисы {ẽ }k=1 , {q̃ }k=1 и им соответствует матрица Aẽq̃ . Будем счи-
тать известными матрицы T , R перехода к новым базисам, так что
(см. с. 125)
                          Ẽn = En T, Q̃m = Qm R.                    (9.1)
Используя (3.1), получим A = Qm Aeq En−1 , Aẽq̃ = Q   e−1   e
                                                         m AEn , следова-
тельно, Aẽq̃ = Q e−1          −1 e                       e−1
                   m Qm Aeq En En . Из (9.1) находим, что Qm Qm = R ,
                                                                       −1

а En−1 Een = T . Таким образом,
                            Aẽq̃ = R−1 Aeq T.                       (9.2)
   10. Прямоугольные матрицы Aẽq̃ и Aeq одинаковых размеров
называют эквивалентными, если существуют невырожденные квад-
ратные матрицы R, T такие, что
                             RAẽq̃ = Aeq T.                        (10.1)
      10.1. Лемма. Ранги эквивалентных матриц совпадают.
    Справедливость леммы непосредственно вытекает из равенств (2.6)
и (2.7), с. 117.
    Можно сказать, таким образом, что ранг матрицы оператора ин-
вариантен по отношению к изменению базисов в пространствах Xn
и Ym . В связи с этим можно определить ранг оператора A : Xn → Ym
как ранг его матрицы, т. е.
                         rank(A) = rank(Aeq ).                      (10.2)

Страницы