Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов 149
11. В важном частном случае, когда оператор A отображает
пространство X
n
в себя, получаем
A
˜e
= T
−1
A
e
T. (11.1)
Квадратные матрицы B, C связанные соотношением
B = DCD
−1
, (11.2)
где D — невырожденная матрица, называют подобными. Таким об-
разом, матрицы одного и того же оператора A : X
n
→ X
n
в разных
базисах подобны.
12. Поскольку det(D
−1
) = 1/ det(D) для любой невырожденной
матрицы D, то определители подобных матриц совпадают. В свя-
зи с этим можно назвать определителем оператора A : X
n
→ X
n
определитель матрицы этого оператора. Такая характеристика опе-
ратора не зависит от выбора базиса в пространстве X
n
, т. е. явля-
ется инвариантом оператора. Определитель оператора A будем обо-
значать через det A. Будем называть оператор A невырожденным,
если det A 6= 0. Для любого невырожденного оператора A существу-
ет обратный. Действительно, фиксируем некоторый базис {e
k
}
n
k=1
и
определим оператор B соотношением
B = E
n
A
−1
e
E
−1
n
.
Поскольку A = E
n
A
e
E
−1
n
, то BA = AB = E
n
IE
−1
n
= I, т. е. опера-
торы BA и AB совпадают и равны тождественному оператору, зна-
чит оператор B = A
−1
— обратный к оператору A. Как следует из
предыдущих рассуждений, матрица обратного оператора обратна к
матрице исходного оператора.
13.Сопряженный оператор.Пусть X
n
, Y
m
— евклидовы простран-
ства, A : X
n
→ Y
m
— линейный оператор. Оператор A
∗
: Y
m
→ X
n
называется сопряженным к оператору A, если
(Ax, y) = (x, A
∗
y) для любых x ∈ X
n
и y ∈ Y
m
. (13.1)
Конечно, в левой части здесь имеется в виду скалярное произведение
в пространстве Y
m
, а в правой части — в пространстве X
n
.
Для любого оператора A : X
n
→ Y
m
сопряженный оператор
существует. В самом деле, фиксируем вектор y ∈ Y
m
и будем рас-
сматривать скалярное произведение (Ax, y) как функционал на про-
странстве X
n
. Из линейности оператора A и линейности скалярного
произведения по первому аргументу вытекает, что этот функционал
§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов            149


   11. В важном частном случае, когда оператор A отображает
пространство Xn в себя, получаем
                             Aẽ = T −1 Ae T.               (11.1)
    Квадратные матрицы B, C связанные соотношением
                             B = DCD−1 ,                    (11.2)
где D — невырожденная матрица, называют подобными. Таким об-
разом, матрицы одного и того же оператора A : Xn → Xn в разных
базисах подобны.
    12. Поскольку det(D −1 ) = 1/ det(D) для любой невырожденной
матрицы D, то определители подобных матриц совпадают. В свя-
зи с этим можно назвать определителем оператора A : Xn → Xn
определитель матрицы этого оператора. Такая характеристика опе-
ратора не зависит от выбора базиса в пространстве Xn , т. е. явля-
ется инвариантом оператора. Определитель оператора A будем обо-
значать через det A. Будем называть оператор A невырожденным,
если det A 6= 0. Для любого невырожденного оператора A существу-
ет обратный. Действительно, фиксируем некоторый базис {ek }nk=1 и
определим оператор B соотношением
                             B = En A−1 −1
                                     e En .

Поскольку A = En Ae En−1 , то BA = AB = En IEn−1 = I, т. е. опера-
торы BA и AB совпадают и равны тождественному оператору, зна-
чит оператор B = A−1 — обратный к оператору A. Как следует из
предыдущих рассуждений, матрица обратного оператора обратна к
матрице исходного оператора.
    13. Сопряженный оператор.Пусть Xn , Ym — евклидовы простран-
ства, A : Xn → Ym — линейный оператор. Оператор A∗ : Ym → Xn
называется сопряженным к оператору A, если
      (Ax, y) = (x, A∗ y) для любых x ∈ Xn и y ∈ Ym .       (13.1)
Конечно, в левой части здесь имеется в виду скалярное произведение
в пространстве Ym , а в правой части — в пространстве Xn .
    Для любого оператора A : Xn → Ym сопряженный оператор
существует. В самом деле, фиксируем вектор y ∈ Ym и будем рас-
сматривать скалярное произведение (Ax, y) как функционал на про-
странстве Xn . Из линейности оператора A и линейности скалярного
произведения по первому аргументу вытекает, что этот функционал

Страницы