Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

150 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
линеен. Значит, по теореме Рисса существует и при том только один
вектор g ∈ X
n
такой, что
(Ax, y) = (x, g) ∀x ∈ X
n
.
Таким образом, определено отображение, ставящее в соответствие
каждому вектору y ∈ Y
m
вектор g ∈ X
n
. Обозначим это отображение
через A
∗
. Можно написать, что
(Ax, y) = (x, A
∗
y) ∀x ∈ X
n
, y ∈ Y
m
. (13.2)
Осталось доказать, что отображение A
∗
линейно. Пусть y
1
, y
2
∈ Y
m
,
α, β ∈ C. Тогда
(Ax, αy
1
+ βy
2
) = ¯α(Ax, y
1
) +
¯
β(Ax, y
2
) =
= ¯α(x, A
∗
y
1
) +
¯
β(x, A
∗
y
2
) = (x, αA
∗
y
1
+ βA
∗
y
2
). (13.3)
С другой стороны, по определению отображения A
∗
имеем
(Ax, αy
1
+ βy
2
) = (x, A
∗
(αy
1
+ βy
2
)). (13.4)
Сравнивая (13.3), (13.4) и используя произвольность вектора x ∈ X
n
,
получаем
A
∗
(αy
1
+ βy
2
) = αA
∗
y
1
+ βA
∗
y
2
.
Из определения сопряженного оператора, очевидно, вытекает,
что (A
∗
)
∗
= A.
Упражнение. Покажите, что (AB)
∗
= B
∗
A
∗
для любых опера-
торов A, B.
Если базисы {e
k
}
n
k=1
, {q
k
}
m
k=1
ортонормированы, то матрицы опе-
раторов A, A
∗
взаимно сопряжены. Действительно, применяя форму-
лу (6.4), с. 145, получим
a
(eq)
li
= (Ae
i
, q
l
), l = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n, (13.5)
a
∗(qe)
il
= (A
∗
q
l
, e
i
), l = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n, (13.6)
где через a
∗(qe)
il
обозначены элементы матрицы оператора A
∗
. Исполь-
зуя теперь определение сопряженного оператора, а затем аксиому 2)
скалярного произведения, можем написать
a
∗(qe)
il
= (q
l
, Ae
i
) =
(Ae
i
, q
l
) = a
(eq)
li
,
а это и означает, что матрицы операторов A, A
∗
взаимно сопряжены.
150                                         Глава 5. Линейные операторы и уравнения


линеен. Значит, по теореме Рисса существует и при том только один
вектор g ∈ Xn такой, что
                            (Ax, y) = (x, g) ∀ x ∈ Xn .
Таким образом, определено отображение, ставящее в соответствие
каждому вектору y ∈ Ym вектор g ∈ Xn . Обозначим это отображение
через A∗ . Можно написать, что
                   (Ax, y) = (x, A∗ y) ∀ x ∈ Xn , y ∈ Ym .                       (13.2)
Осталось доказать, что отображение A∗ линейно. Пусть y 1 , y 2 ∈ Ym ,
α, β ∈ C. Тогда

 (Ax, αy 1 + βy 2 ) = ᾱ(Ax, y 1 ) + β̄(Ax, y 2 ) =
              = ᾱ(x, A∗ y 1 ) + β̄(x, A∗ y 2 ) = (x, αA∗ y 1 + βA∗ y 2 ). (13.3)
С другой стороны, по определению отображения A∗ имеем
                   (Ax, αy 1 + βy 2 ) = (x, A∗ (αy 1 + βy 2 )).                  (13.4)
Сравнивая (13.3), (13.4) и используя произвольность вектора x ∈ Xn ,
получаем
                  A∗ (αy 1 + βy 2 ) = αA∗ y 1 + βA∗ y 2 .
   Из определения сопряженного оператора, очевидно, вытекает,
что (A∗ )∗ = A.
   Упражнение. Покажите, что (AB)∗ = B ∗ A∗ для любых опера-
торов A, B.
    Если базисы {ek }nk=1 , {q k }m
                                  k=1 ортонормированы, то матрицы опе-
               ∗
раторов A, A взаимно сопряжены. Действительно, применяя форму-
лу (6.4), с. 145, получим
               (eq)
             ali      = (Aei , q l ),     l = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n,    (13.5)
              ∗(qe)
            ail       = (A∗ q l , ei ),    l = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n,   (13.6)
           ∗(qe)
где через ail обозначены элементы матрицы оператора A∗ . Исполь-
зуя теперь определение сопряженного оператора, а затем аксиому 2)
скалярного произведения, можем написать
                        ∗(qe)                                    (eq)
                      ail       = (q l , Aei ) = (Aei , q l ) = ali ,
а это и означает, что матрицы операторов A, A∗ взаимно сопряжены.

Страницы