Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 153 стр.

152                             Глава 5. Линейные операторы и уравнения


   3) Покажите, что произведение унитарных операторов — унитар-
ный оператор.
    Если оператор A унитарен, то для любых x, y ∈ Xn име-
ем (Ax, Ay) = (x, A∗ Ay) = (x, y), т. е. унитарный оператор не меняет
скалярного произведения векторов, и, следовательно, унитарный опе-
ратор не меняет длин векторов.
    Обратно, если линейный оператор не меняет скалярного произ-
ведения любых двух векторов из Xn , то он унитарен. В самом де-
ле, из равенства (Ax, Ay) = (x, y) вытекает, что (x, A∗ Ay) = (x, y).
Нетрудно убедиться, что поскольку последнее равенство выполнено
для любых x, y ∈ Xn , то
                              A∗ A = I.                         (14.2)
Докажем что равенство AA∗ = I также выполняется. Из равен-
ства (14.2) вытекает, что det(A) 6= 0, следовательно, оператор A име-
ет обратный. Умножая равенство (14.2) слева на A, а затем справа
на A−1 , получим, что AA∗ = I.


                    § 3. Линейные уравнения

   1. В этом параграфе изучается одна из основных задач линейной
алгебры — задача решения линейного уравнения
                               Ax = y.                            (1.1)
Здесь A : Xn → Ym — линейный оператор, y — заданный эле-
мент пространства Ym , x — искомый элемент пространства Xn . Цель
исследований — указать условия существования решений уравне-
ния (1.1) и описать структуру множества решений этого уравнения
при заданной правой части y.
    2. При исследовании уравнения (1.1) мы будем рассматривать
соответствующее ему однородное уравнение
                               Ax = 0,                            (2.1)
а также так называемое однородное сопряженное уравнение
                              A∗ x = 0.                           (2.2)
Оператор A∗ : Ym → Xn — это сопряженный по отношению к A
оператор.