Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Линейные уравнения 153
Дадим необходимые для дальнейшего определения. Множество
всех векторов y из пространства Y
m
таких, что y = Ax для некото-
рого x ∈ X
n
, называется областью значений или образом оператора
и обозначается через Im(A).
Множество всех решений однородного уравнения (2.1) называется
ядром оператора A и обозначается через Ker(A).
Покажем, что Im(A) — линейное подпространство простран-
ства Y
m
. Действительно, пусть y
1
, y
2
∈ Im(A). Тогда существуют x
1
и x
2
∈ X
n
такие, что y
1
= Ax
1
, y
2
= Ax
2
. Для любых α, β ∈ C
отсюда получаем αy
1
+ βy
2
= αAx
1
+ βAx
2
. Оператор A линеен, сле-
довательно, αy
1
+ βy
2
= A(αx
1
+ βx
2
), и потому αy
1
+ βy
2
∈ Im(A),
т. е. Im(A) — линейное подпространство.
Упражнение. Покажите, что Ker(A) — линейное подпростран-
ство пространства X
n
.
Основной при исследовании разрешимости уравнения (1.1) явля-
ется
2.1. Теорема. Для любого линейного оператора A : X
n
→ Y
m
евклидово пространство Y
m
допускает следующее ортогональное
разложение:
Y
m
= Ker(A
∗
) ⊕Im(A). (2.3)
Доказательство. Пусть y ∈ Im(A), y
1
∈ Ker(A
∗
). Тогда суще-
ствует x ∈ X
n
такой, что y = Ax, следовательно,
(y, y
1
) = (Ax, y
1
) = (x, A
∗
y
1
) = 0,
т. е. y ортогонален Ker(A
∗
). Если же вектор y ∈ Y
m
ортогонален
Im(A), то (y, Ax) = 0 для любого x ∈ X
n
и тогда (A
∗
y, x) = 0 для
любого x ∈ X
n
, поэтому A
∗
y = 0, т. е. y ∈ Ker(A
∗
). Эти рассуж-
дения показывают, что Im(A) — ортогональное дополнение Ker(A
∗
),
следовательно, по теореме 3.2, с. 138, равенство (2.3) выполнено. ¤
Очевидно, что имеет место и следующее представление:
X
n
= Ker(A) ⊕ Im(A
∗
). (2.4)
Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает
2.2. Теорема Фредгольма. Для того, чтобы уравнение (1.1)
имело решение необходимо и достаточно, чтобы его правая часть
была ортогональна любому решению однородного уравнения (2.2).
§ 3. Линейные уравнения                                            153


     Дадим необходимые для дальнейшего определения. Множество
всех векторов y из пространства Ym таких, что y = Ax для некото-
рого x ∈ Xn , называется областью значений или образом оператора
и обозначается через Im(A).
     Множество всех решений однородного уравнения (2.1) называется
ядром оператора A и обозначается через Ker(A).
     Покажем, что Im(A) — линейное подпространство простран-
ства Ym . Действительно, пусть y 1 , y 2 ∈ Im(A). Тогда существуют x1
и x2 ∈ Xn такие, что y 1 = Ax1 , y 2 = Ax2 . Для любых α, β ∈ C
отсюда получаем αy 1 + βy 2 = αAx1 + βAx2 . Оператор A линеен, сле-
довательно, αy 1 + βy 2 = A(αx1 + βx2 ), и потому αy 1 + βy 2 ∈ Im(A),
т. е. Im(A) — линейное подпространство.
    Упражнение. Покажите, что Ker(A) — линейное подпростран-
ство пространства Xn .
    Основной при исследовании разрешимости уравнения (1.1) явля-
ется
    2.1. Теорема. Для любого линейного оператора A : Xn → Ym
евклидово пространство Ym допускает следующее ортогональное
разложение:
                    Ym = Ker(A∗ ) ⊕ Im(A).               (2.3)

    Доказательство. Пусть y ∈ Im(A), y 1 ∈ Ker(A∗ ). Тогда суще-
ствует x ∈ Xn такой, что y = Ax, следовательно,
                   (y, y 1 ) = (Ax, y 1 ) = (x, A∗ y 1 ) = 0,
т. е. y ортогонален Ker(A∗ ). Если же вектор y ∈ Ym ортогонален
Im(A), то (y, Ax) = 0 для любого x ∈ Xn и тогда (A∗ y, x) = 0 для
любого x ∈ Xn , поэтому A∗ y = 0, т. е. y ∈ Ker(A∗ ). Эти рассуж-
дения показывают, что Im(A) — ортогональное дополнение Ker(A ∗ ),
следовательно, по теореме 3.2, с. 138, равенство (2.3) выполнено. ¤
   Очевидно, что имеет место и следующее представление:
                          Xn = Ker(A) ⊕ Im(A∗ ).                 (2.4)
   Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает

   2.2. Теорема Фредгольма. Для того, чтобы уравнение (1.1)
имело решение необходимо и достаточно, чтобы его правая часть
была ортогональна любому решению однородного уравнения (2.2).

Страницы