Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Линейные уравнения 155
теоретические результаты. Для упрощения их формулировок будем
считать, что базисы E
n
, Q
m
ортонормированы.
При этом предположении уравнение (2.2) эквивалентно системе
уравнений
A
∗
eq
ξ = 0, (5.1)
где A
∗
eq
— матрица, сопряженная матрице A
eq
, — матрица операто-
ра A
∗
(см. с. 150). Напомним также (см. с. 127), что скалярные про-
изведения векторов в пространствах X
n
, Y
m
можно вычислять как
стандартные скалярные произведения векторов коэффициентов их
разложений по соответствующим базисам {e
k
}
n
k=1
или {q
k
}
m
k=1
.
Интерпретируем теперь теорему Фредгольма в терминах си-
стем (4.1), (5.1). Заметим, прежде всего, что принадлежность векто-
ра x =
m
P
k=1
ξ
k
q
k
множеству Ker(A
∗
) эквивалентна тому, что вектор ξ —
решение системы (5.1). Последнее означает, что вектор ξ ортогона-
лен столбцам матрицы A
eq
в смысле стандартного скалярного про-
изведения. Принадлежность вектора y =
m
P
k=1
η
k
q
k
множеству Im(A)
эквивалентна тому, что вектор η ортогонален в смысле стандартно-
го скалярного произведения каждому решению системы (5.1), а это
означает, что вектор η принадлежит подпространству, натянутому на
столбцы матрицы A
eq
.
Таким образом, теорема Фредгольма эквивалентна следующему
очевидному утверждению. Для того, чтобы система уравнений (4.1)
была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы столбец правой ча-
сти η принадлежал подпространству, натянутому на столбцы матри-
цы A
eq
.
Этот признак разрешимости системы (4.1) часто формулируют,
используя понятие ранга матрицы. Пусть (A
eq
, η) — так называемая
расширенная матрица системы (4.1), т. е. матрица, получающаяся
из A
eq
добавлением столбца η. Добавление столбца не уменьшает ран-
га матрицы, и, очевидно, что ранг сохраняется тогда и только тогда,
когда η есть линейная комбинация столбцов матрицы A
eq
. Таким об-
разом, справедлива
5.1. Теорема Кронекера — Капелли. Для того, чтобы си-
стема (4.1) имела решение необходимо и достаточно, чтобы ранги
матриц A
eq
и (A
eq
, η) совпадали.
§ 3. Линейные уравнения                                            155


теоретические результаты. Для упрощения их формулировок будем
считать, что базисы En , Qm ортонормированы.
   При этом предположении уравнение (2.2) эквивалентно системе
уравнений
                             A∗eq ξ = 0,                  (5.1)
где A∗eq — матрица, сопряженная матрице Aeq , — матрица операто-
ра A∗ (см. с. 150). Напомним также (см. с. 127), что скалярные про-
изведения векторов в пространствах Xn , Ym можно вычислять как
стандартные скалярные произведения векторов коэффициентов их
разложений по соответствующим базисам {ek }nk=1 или {q k }m  k=1 .
    Интерпретируем теперь теорему Фредгольма в терминах си-
стем (4.1), (5.1). Заметим, прежде всего, что принадлежность векто-
        Pm
ра x =     ξk q k множеству Ker(A∗ ) эквивалентна тому, что вектор ξ —
       k=1
решение системы (5.1). Последнее означает, что вектор ξ ортогона-
лен столбцам матрицы Aeq в смысле стандартного скалярного про-
                                          Pm
изведения. Принадлежность вектора y =         ηk q k множеству Im(A)
                                          k=1
эквивалентна тому, что вектор η ортогонален в смысле стандартно-
го скалярного произведения каждому решению системы (5.1), а это
означает, что вектор η принадлежит подпространству, натянутому на
столбцы матрицы Aeq .
    Таким образом, теорема Фредгольма эквивалентна следующему
очевидному утверждению. Для того, чтобы система уравнений (4.1)
была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы столбец правой ча-
сти η принадлежал подпространству, натянутому на столбцы матри-
цы Aeq .
    Этот признак разрешимости системы (4.1) часто формулируют,
используя понятие ранга матрицы. Пусть (Aeq , η) — так называемая
расширенная матрица системы (4.1), т. е. матрица, получающаяся
из Aeq добавлением столбца η. Добавление столбца не уменьшает ран-
га матрицы, и, очевидно, что ранг сохраняется тогда и только тогда,
когда η есть линейная комбинация столбцов матрицы Aeq . Таким об-
разом, справедлива
   5.1. Теорема Кронекера — Капелли. Для того, чтобы си-
стема (4.1) имела решение необходимо и достаточно, чтобы ранги
матриц Aeq и (Aeq , η) совпадали.

Страницы