Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 155 стр.

154                                 Глава 5. Линейные операторы и уравнения


    3. В этом пункте будем считать, что уравнение (1.1) имеет реше-
ние, и опишем структуру всех его возможных решений, иными сло-
вами, получим представление общего решения уравнения (1.1).
    Пусть x1 , x2 — решения уравнения (1.1) при одной и той же пра-
вой части y. Тогда, очевидно, A(x1 − x2 ) = 0, т. е. x1 − x2 ∈ Ker(A).
Отсюда вытекает, что если фиксировать некоторое решение уравне-
ния (1.1) (обозначим его через x0 и будем называть частным реше-
нием неоднородного уравнения), то любое другое решение (1.1) имеет
вид x = x0 + x̃, где x̃ ∈ Ker(A).
    Пусть ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕp — некий базис в Ker(A). Тогда
                                      p
                                      X
                                0
                          x=x +             c k ϕk .                  (3.1)
                                      k=1

Таким образом, представление общего решения уравнения (1.1) полу-
чено. Меняя в (3.1) коэффициенты c1 , . . . , cp , можно получить любое
решение этого уравнения.
   Векторы ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕp принято называть фундаментальной си-
                                                       Pp
стемой решений однородного уравнения (2.1); x̃ =          ck ϕk — общим
                                                        k=1
решением однородного уравнения. Итак, можно сказать, что общее
решение уравнения (1.1) есть сумма какого-либо частного решения
уравнения (1.1) и общего решения однородного уравнения (2.1).
    4. При фактическом построении решений уравнения (1.1) нуж-
но ввести некоторые базисы En = {ek }nk=1 , Qm = {q k }m
                                                       k=1 в простран-
ствах Xn , Ym и перейти к системе линейных алгебраических уравне-
ний относительно коэффициентов ξ разложения вектора x по бази-
су En , считая известными коэффициенты η разложения вектора y по
базису Qm . В результате (см. с. 144) получим
                              Aeq ξ = η,                              (4.1)
где Aeq — матрица оператора A.
    Задачи (1.1), (4.1) эквивалентны в том смысле, что если ξ — реше-
ние уравнения (4.1), то x = En ξ — решение уравнения (1.1) с y = Qm η,
и наоборот, если x — решение уравнения (1.1), то коэффициенты раз-
ложения векторов x, y по соответствующим базисам связаны соотно-
шением (4.1).
   5. Редукция задачи (1.1) к системе линейных алгебраических
уравнений (4.1) позволяет получить и некоторые дополнительные