Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

156 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
6. Теорема. Для любого линейного оператора A : X
n
→ Y
m
справедливы следующие равенства:
dim(Im(A)) = rank(A), (6.1)
dim(Ker(A)) = n − rank(A). (6.2)
Доказательство. Пусть x = E
n
ξ ∈ X
n
. Тогда Ax = Q
m
η,
где η = A
eq
ξ. Понятно, что вектор η принадлежит подпростран-
ству пространства C
m
, натянутому на столбцы матрицы A
eq
, и, сле-
довательно, имеющему размерность, равную rank(A
eq
) = rank(A).
Поскольку линейный оператор Q
m
имеет обратный, то, очевидно,
указанное подпространство изоморфно Im A, следовательно, раз-
мерность Im(A) также равна rank(A). Аналогично проверяется,
что dim(Im A
∗
) = rank(A
∗
). Отсюда вследствие (2.4), с. 153, имеем
dim(Ker(A)) = n − dim(Im A
∗
), значит, dim(Ker(A)) = n − rank(A
∗
),
но, как мы уже знаем (см. с. 116, 148 и 150), rank(A
∗
) = rank(A). ¤
7. Опишем теперь некоторые способы, которые можно приме-
нять для фактического построения частного решения системы ли-
нейных уравнений (4.1) и для построения фундаментальной системы
решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.
7.1. Начнем с построения частного решения системы линейных
уравнений. Для упрощения записей будем далее обозначать матри-
цу A
eq
через A, решение системы — x, вектор правой части — b.
Предположим, что условие разрешимости системы (4.1) выполнено
и положим r = rank(A, b).
Применяя описанные на с. 117 приемы вычисления ранга мат-
рицы, приведем матрицу (A, b) к такому виду, что главный минор
порядка r этой матрицы будет отличен от нуля, а все строки преоб-
разованной матрицы (A, b), начиная с (r + 1)-й есть линейные ком-
бинации первых r строк. Подчеркнем, что выполняемые указанным
способом преобразования приводят к системе линейных уравнений,
эквивалентной системе (4.1), причем последние r + 1 уравнений пре-
образованной системы — следствия первых r уравнений.
Отбросим эти последние уравнения, а в оставшихся r уравнениях
перенесем слагаемые, содержащие переменные с (r + 1)-й и до n-й
(эти переменные принято называть свободными), в правую часть.
Придадим свободным переменным любые значения (чаще всего,
нет никаких причин не брать их равными нулю). В результате полу-
чим систему из r уравнений с r неизвестными, определитель которой
по построению отличен от нуля. Решив эту крамеровскую систему
156                            Глава 5. Линейные операторы и уравнения


    6. Теорема. Для любого линейного оператора A : Xn → Ym
справедливы следующие равенства:
                      dim(Im(A)) = rank(A),                      (6.1)
                    dim(Ker(A)) = n − rank(A).                   (6.2)
    Доказательство. Пусть x = En ξ ∈ Xn . Тогда Ax = Qm η,
где η = Aeq ξ. Понятно, что вектор η принадлежит подпростран-
ству пространства Cm , натянутому на столбцы матрицы Aeq , и, сле-
довательно, имеющему размерность, равную rank(Aeq ) = rank(A).
Поскольку линейный оператор Qm имеет обратный, то, очевидно,
указанное подпространство изоморфно Im A, следовательно, раз-
мерность Im(A) также равна rank(A). Аналогично проверяется,
что dim(Im A∗ ) = rank(A∗ ). Отсюда вследствие (2.4), с. 153, имеем
dim(Ker(A)) = n − dim(Im A∗ ), значит, dim(Ker(A)) = n − rank(A∗ ),
но, как мы уже знаем (см. с. 116, 148 и 150), rank(A∗ ) = rank(A). ¤
   7. Опишем теперь некоторые способы, которые можно приме-
нять для фактического построения частного решения системы ли-
нейных уравнений (4.1) и для построения фундаментальной системы
решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.
    7.1. Начнем с построения частного решения системы линейных
уравнений. Для упрощения записей будем далее обозначать матри-
цу Aeq через A, решение системы — x, вектор правой части — b.
Предположим, что условие разрешимости системы (4.1) выполнено
и положим r = rank(A, b).
    Применяя описанные на с. 117 приемы вычисления ранга мат-
рицы, приведем матрицу (A, b) к такому виду, что главный минор
порядка r этой матрицы будет отличен от нуля, а все строки преоб-
разованной матрицы (A, b), начиная с (r + 1)-й есть линейные ком-
бинации первых r строк. Подчеркнем, что выполняемые указанным
способом преобразования приводят к системе линейных уравнений,
эквивалентной системе (4.1), причем последние r + 1 уравнений пре-
образованной системы — следствия первых r уравнений.
    Отбросим эти последние уравнения, а в оставшихся r уравнениях
перенесем слагаемые, содержащие переменные с (r + 1)-й и до n-й
(эти переменные принято называть свободными), в правую часть.
    Придадим свободным переменным любые значения (чаще всего,
нет никаких причин не брать их равными нулю). В результате полу-
чим систему из r уравнений с r неизвестными, определитель которой
по построению отличен от нуля. Решив эту крамеровскую систему

Страницы