Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

158 Глава 5. Линейные операторы и уравнения
так, чтобы они были линейно независимы (проще всего их взять как
векторы стандартного базиса пространства C
n−r
). По этим векторам
из уравнений
A(r, r)x
k
(r, 1) + B(r, n − r)y
k
(n − r, 1) = 0,
где k = 1, . . . , n − r, однозначно определятся векторы
x
1
(r, 1), x
2
(r, 1), . . . , x
n−r
(r, 1).
Образуем теперь векторы z
k
(n, 1), приписывая к компонентам векто-
ров x
k
(r, 1) компоненты векторов y
k
(n − r, 1):
z
k
(n, 1) = (x
k
(r, 1), y
k
(n − r, 1)), k = 1, . . . , n − r.
По построению Az
k
= 0 для k = 1, . . . , n − r, кроме того, оче-
видно, векторы z
k
, k = 1, . . . , n − r, линейно независимы, так как
векторы системы (7.6) линейно независимы. Таким образом, векто-
ры z
k
, k = 1, . . . , n−r, образуют фундаментальную систему линей-
но независимых решений однородной системы уравнений (7.4).
Пример. Найдем фундаментальную систему решений однородной системы урав-
нений
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
= 0, (7.7)
x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 0, (7.8)
2x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
+ 10x
4
= 0. (7.9)
Ранг матрицы этой системы, как было показано при решении предыдущего примера,
равен двум. Поэтому нужно построить два линейно независимых (непропорциональ-
ных) решения системы (7.7)–(7.9). Как уже было установлено, последнее уравнение
системы — следствие первых двух. Полагая x
3
= 1, x
4
= 0 в уравнениях (7.7), (7.8),
получим
x
1
− x
2
+ 1 = 0, (7.10)
x
1
+ x
2
+ 2 = 0, (7.11)
откуда x
1
= −3/2, x
2
= −1/2. Полагая же x
3
= 0, x
4
= 1 в уравнениях (7.7), (7.8), будем
иметь x
1
= −1, x
2
= −2. Поэтому векторы x
1
= (−3/2, −1/2, 1, 0), x
2
= (−1, −2, 0, 1)
образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (7.7)–(7.9). Любой
вектор
x = c
1
(−3/2, −1/2, 1, 0) + c
2
(−1, −2, 0, 1), (7.12)
где c
1
, c
2
— произвольные числа, есть решение системы (7.7)–(7.9), и наоборот, любое
решение системы уравнений (7.7)–(7.9) представимо в виде (7.12) при некоторых c
1
, c
2
.
158                                      Глава 5. Линейные операторы и уравнения


так, чтобы они были линейно независимы (проще всего их взять как
векторы стандартного базиса пространства Cn−r ). По этим векторам
из уравнений
                A(r, r)xk (r, 1) + B(r, n − r)y k (n − r, 1) = 0,
где k = 1, . . . , n − r, однозначно определятся векторы
                     x1 (r, 1),   x2 (r, 1), . . . ,   xn−r (r, 1).
Образуем теперь векторы z k (n, 1), приписывая к компонентам векто-
ров xk (r, 1) компоненты векторов y k (n − r, 1):

          z k (n, 1) = (xk (r, 1), y k (n − r, 1)),    k = 1, . . . , n − r.
По построению Az k = 0 для k = 1, . . . , n − r, кроме того, оче-
видно, векторы z k , k = 1, . . . , n − r, линейно независимы, так как
векторы системы (7.6) линейно независимы. Таким образом, векто-
ры z k , k = 1, . . . , n − r, образуют фундаментальную систему линей-
но независимых решений однородной системы уравнений (7.4).
    Пример. Найдем фундаментальную систему решений однородной системы урав-
нений

                              x1 − x2 + x3 − x4 = 0,                               (7.7)
                              x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0,                             (7.8)
                              2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4 = 0.                          (7.9)

Ранг матрицы этой системы, как было показано при решении предыдущего примера,
равен двум. Поэтому нужно построить два линейно независимых (непропорциональ-
ных) решения системы (7.7)–(7.9). Как уже было установлено, последнее уравнение
системы — следствие первых двух. Полагая x3 = 1, x4 = 0 в уравнениях (7.7), (7.8),
получим

                                    x1 − x2 + 1 = 0,                              (7.10)
                                    x1 + x2 + 2 = 0,                              (7.11)

откуда x1 = −3/2, x2 = −1/2. Полагая же x3 = 0, x4 = 1 в уравнениях (7.7), (7.8), будем
иметь x1 = −1, x2 = −2. Поэтому векторы x1 = (−3/2, −1/2, 1, 0), x2 = (−1, −2, 0, 1)
образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (7.7)–(7.9). Любой
вектор
                      x = c1 (−3/2, −1/2, 1, 0) + c2 (−1, −2, 0, 1),              (7.12)

где c1 , c2 — произвольные числа, есть решение системы (7.7)–(7.9), и наоборот, любое
решение системы уравнений (7.7)–(7.9) представимо в виде (7.12) при некоторых c 1 , c2 .

Страницы