Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

160 Глава 6. Строение линейного оператора
2. Если известен базис инвариантного подпространства, вид
матрицы оператора может быть существенно упрощен. Именно,
пусть {e
k
}
n
k=1
— базис пространства X
n
, L — подпространство X
n
,
инвариантное относительно оператора A и имеющее размерность m.
Пусть векторы {e
k
}
m
k=1
принадлежат L. Тогда {e
k
}
m
k=1
— базис под-
пространства L (докажите!) и
Ae
k
=
m
X
j=1
a
(e)
jk
e
j
, k = 1, . . . , m,
Ae
k
=
n
X
j=1
a
(e)
jk
e
j
, k = m + 1, . . . , n.
Эти равенства показывают, что элементы матрицы A
e
, стоящие на
пересечении первых m столбцов и последних (n − m) строк, — нули,
следовательно, матрица A
e
может быть записана как блочная 2 × 2
треугольная матрица:
A
e
=
µ
A
11
A
12
0 A
22
, (2.1)
где A
11
— квадратная матрица размера m, A
22
— квадратная матрица
размера n − m, 0 — нулевая матрица размера (n − m) × m, A
12
—
матрица размера m × (n − m).
Еще большее упрощение матрицы A
e
достигается, когда про-
странство X
n
представимо в виде прямой суммы инвариантных под-
пространств L и M оператора A, т. е. X
n
= L u M и базис {e
k
}
n
k=1
пространства X
n
выбран так, что векторы {e
k
}
m
k=1
— базис подпро-
странства L. Тогда, как нетрудно видеть, в представлении (2.1) мат-
рица A
12
будет нулевой, т. е. матрица A
e
принимает блочно диаго-
нальный вид
A
e
=
µ
A
11
0
0 A
22
. (2.2)
Очевидно, верно и обратное, а именно, если матрица оператора в
некотором базисе {e
k
}
n
k=1
имеет блочную структуру вида (2.2), то про-
странство X
n
представимо как прямая сумма двух подпространств,
базисами этих подпространств будут векторы базиса {e
k
}
n
k=1
с номе-
рами, совпадающими с номерами строк соответствующих блоков.
Вообще говоря, и подпространства L и M могут распадаться на
прямые суммы инвариантных подпространств меньшей размерности.
Тогда количество блоков, стоящих на диагонали матрицы A
e
, будет
увеличиваться, а их размеры будут уменьшаться.
160                                          Глава 6. Строение линейного оператора


   2. Если известен базис инвариантного подпространства, вид
матрицы оператора может быть существенно упрощен. Именно,
пусть {ek }nk=1 — базис пространства Xn , L — подпространство Xn ,
инвариантное относительно оператора A и имеющее размерность m.
Пусть векторы {ek }m                            k m
                     k=1 принадлежат L. Тогда {e }k=1 — базис под-
пространства L (докажите!) и
                           m
                           X
                      k                (e)
                  Ae =            ajk ej ,     k = 1, . . . , m,
                            j=1
                          n
                          X
                  k              (e)
               Ae =             ajk ej ,     k = m + 1, . . . , n.
                          j=1
Эти равенства показывают, что элементы матрицы Ae , стоящие на
пересечении первых m столбцов и последних (n − m) строк, — нули,
следовательно, матрица Ae может быть записана как блочная 2 × 2
треугольная матрица:
                            µ         ¶
                              A11 A12
                       Ae =             ,                   (2.1)
                               0 A22
где A11 — квадратная матрица размера m, A22 — квадратная матрица
размера n − m, 0 — нулевая матрица размера (n − m) × m, A12 —
матрица размера m × (n − m).
    Еще большее упрощение матрицы Ae достигается, когда про-
странство Xn представимо в виде прямой суммы инвариантных под-
пространств L и M оператора A, т. е. Xn = L u M и базис {ek }nk=1
пространства Xn выбран так, что векторы {ek }m k=1 — базис подпро-
странства L. Тогда, как нетрудно видеть, в представлении (2.1) мат-
рица A12 будет нулевой, т. е. матрица Ae принимает блочно диаго-
нальный вид                   µ        ¶
                                A11 0
                         Ae =             .                    (2.2)
                                 0 A22
   Очевидно, верно и обратное, а именно, если матрица оператора в
некотором базисе {ek }nk=1 имеет блочную структуру вида (2.2), то про-
странство Xn представимо как прямая сумма двух подпространств,
базисами этих подпространств будут векторы базиса {ek }nk=1 с номе-
рами, совпадающими с номерами строк соответствующих блоков.
   Вообще говоря, и подпространства L и M могут распадаться на
прямые суммы инвариантных подпространств меньшей размерности.
Тогда количество блоков, стоящих на диагонали матрицы Ae , будет
увеличиваться, а их размеры будут уменьшаться.

Страницы