Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 163 стр.

162                                   Глава 6. Строение линейного оператора


    Понятно, что если x — собственный вектор, то вектор µx при
любом µ 6= 0 тоже — собственный вектор оператора A, отвечающий
собственному числу λ. Далее, если x, y — собственные векторы опе-
ратора A, отвечающие собственному числу λ, то вектор x + y так-
же — собственный вектор оператора A, отвечающий собственному
числу λ. Это означает, что, присоединяя ко множеству всех собствен-
ных векторов, отвечающих собственному числу λ, нулевой вектор,
мы получим подпространство Lλ , называемое собственным подпро-
странством оператора A. Подпространство Lλ — инвариантное под-
пространство оператора A.
    Приведем простые примеры операторов, имеющих собственные
векторы.
    Для нулевого оператора всякий вектор пространства Xn — соб-
ственный вектор, отвечающий собственному числу, равному нулю.
    Для оператора αI, где α ∈ C, всякий вектор пространства —
собственный вектор, отвечающий собственному числу, равному α.
    Пусть P — оператор проектирования евклидова пространства Xn
на подпространство L ⊂ Xn . Тогда P x = x для любого вектора x из L,
и P x = 0 для любого x ∈ L⊥ , т. е. все векторы из L — собственные
векторы оператора P и все они отвечают собственному числу, рав-
ному единице, тогда как все векторы из L⊥ — собственные векторы
оператора P , отвечающие собственному числу, равному нулю.
    Ниже будет показано, что в комплексном пространстве Xn всякий
оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
    В вещественном пространстве Xn не всякий оператор имеет соб-
ственные векторы. Так, например, оператор Q, построенный в преды-
дущем пункте, не имеет собственных векторов в пространстве X2 . Это
сразу следует из того, что оператор Q не имеет нетривиальных инва-
риантных подпространств.
   4.2. Теорема. Пусть λ1 , λ2 , . . . , λp — попарно различные соб-
ственные числа оператора A. Пусть, далее, x1 , x2 , . . . , xp — соб-
ственные векторы оператора A, причем Axk = λk xk , k = 1, . . . , p.
Тогда векторы x1 , x2 , . . . , xp линейно независимы.
   Доказательство. Предположим противное. Тогда в множестве
векторов x1 , x2 , . . . , xp можно указать максимальную линейно неза-
висимую подсистему. Не ограничивая общности рассуждений, можно
считать, что это — векторы x1 , x2 , . . . , xr , r < p, следовательно,
можно указать числа α1 , α2 , . . . , αr такие, что
                 α1 x1 + α2 x2 + · · · + αr xr + xr+1 = 0.            (4.2)