Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 162 стр.

§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы                              161


    Наиболее простым является случай, когда пространство Xn мо-
жет быть представлено в виде прямой суммы n одномерных инва-
риантных подпространств оператора A. Тогда матрица Ae становит-
ся диагональной. Однако, такое представление возможно лишь для
некоторых специальных классов операторов.
   3. Лемма. Пусть A : Xn → Xn — невырожденный оператор,
а L ⊂ Xn — инвариантное подпространство оператора A. Тогда для
любого x ∈ L найдется, и при том только один, вектор y ∈ L такой,
что1)
                             Ay = x.                         (3.1)
   Доказательство. Пусть x ∈ L. Поскольку оператор A невы-
рожден, уравнение (3.1) имеет единственное решение y. Осталось по-
казать, что y ∈ L. Будем считать, что dim(L) = m < n, {ek }nk=1 —
             k m
                                  P
                                  m
                                        k
                                               P
                                               n
базис Xn , {e }k=1 — базис L, x =   ξk e , y =   ηk ek , Ae — матрица
                                           k=1             k=1
оператора A в выбранном базисе. Понятно, что она имеет вид (2.1),
а уравнение (3.1) эквивалентно системе уравнений
                                A11 η 1 + A12 η 2 = ξ,                            (3.2)
                                          A22 η 2 = 0,                            (3.3)
где η 1 = (η1 , . . . , ηm ), η 2 = (ηm+1 , . . . , ηn ), ξ = (ξ1 , . . . , ξm ). По
формуле (3.2), с. 97, |A| = |A11 ||A22 |, следовательно, |A22 | 6= 0, откуда
вытекает, что η 2 = 0 и потому y ∈ L. ¤
   4. Собственные числа и собственные векторы оператора. В преды-
дущем пункте была показана особая роль одномерных инвариантных
подпространств оператора. С понятием одномерного инвариантного
подпространства тесно связано понятие собственного вектора опера-
тора.
    4.1. Будем говорить, что вектор x ∈ Xn — собственный вектор
оператора A : Xn → Xn , если x 6= 0 и существует число λ ∈ C такое,
что
                            Ax = λx.                          (4.1)
Число λ при этом называется собственным числом оператора A.
Говорят, что собственный вектор x соответствует (отвечает) соб-
ственному числу λ. Собственный вектор и соответствующее ему соб-
ственное число называют также собственной парой оператора A.
  1)
    Можно сказать, таким образом, что невырожденный оператор осуществляет взаимно од-
нозначное отображение любого своего инвариантного подпространства на это же подпростран-
ство.