Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы 163
Поскольку x
r+1
— собственный вектор, он не равен нулю, значит, не
все числа α
1
, α
2
, . . . , α
r
— нули. Подействовав на обе части равен-
ства (4.2) оператором A, получим
λ
1
α
1
x
1
+ λ
2
α
2
x
2
+ ··· + λ
r
α
r
x
r
+ λ
r+1
x
r+1
= 0. (4.3)
Умножим обе части равенства (4.2) на λ
r+1
и затем вычтем его
почленно из (4.3), получим
(λ
1
− λ
r+1
)α
1
x
1
+ (λ
2
− λ
r+1
)α
2
x
2
+ ··· + (λ
r
− λ
r+1
)α
r
x
r
= 0. (4.4)
Отсюда вытекает, что все числа (λ
k
− λ
r+1
)α
k
, k = 1, . . . , r, — нули,
а это невозможно, так как все числа λ
k
−λ
r+1
, k = 1, . . . , r, отличны
от нуля. ¤
4.3. Теорема. Всякий оператор A, действующий в комплексном
пространстве X
n
, имеет хотя бы один собственный вектор.
Доказательство. Достаточно убедиться, что существует λ ∈ C
такое, что линейное уравнение
(A − λI)x = 0 (4.5)
имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Фиксируем в простран-
стве X
n
некоторый базис E
n
. Пусть A
e
— матрица оператора A в этом
базисе. Рассмотрим уравнение
det(A
e
− λI) = 0. (4.6)
Уравнение (4.6) — алгебраическое уравнение порядка n относитель-
но λ и потому имеет n корней λ
1
, . . . , λ
n
. Всякий корень уравне-
ния (4.6) — собственное число оператора A. В самом деле,
(A
e
− λ
k
I)ξ = 0 (4.7)
есть однородная система уравнений с вырожденной матрицей, следо-
вательно, она имеет нетривиальное решение. Обозначим это решение
через ξ
k
. Тогда вектор x
k
= E
n
ξ
k
, очевидно, будет не равен нулю и
будет решением уравнения (A − λ
k
I)x
k
= 0. ¤
Полином det(B − λI) называется характеристическим полино-
мом матрицы B. Корни характеристического полинома называются
характеристическими (собственными) числами матрицы B. Мно-
жество всех характеристических чисел матрицы B называется ее
спектром и обозначается через sp(B). Как установлено в ходе до-
казательства теоремы 4.3, для любого числа λ ∈ sp(B) существует
вектор x ∈ C
n
, не равный нулю, и такой, что
Bx = λx.
Вектор x называется собственным вектором матрицы B, соответ-
ствующим характеристическому числу λ этой матрицы.
§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы                   163


Поскольку xr+1 — собственный вектор, он не равен нулю, значит, не
все числа α1 , α2 , . . . , αr — нули. Подействовав на обе части равен-
ства (4.2) оператором A, получим
           λ1 α1 x1 + λ2 α2 x2 + · · · + λr αr xr + λr+1 xr+1 = 0.     (4.3)
Умножим обе части равенства (4.2) на λr+1 и затем вычтем его
почленно из (4.3), получим
 (λ1 − λr+1 )α1 x1 + (λ2 − λr+1 )α2 x2 + · · · + (λr − λr+1 )αr xr = 0. (4.4)
Отсюда вытекает, что все числа (λk − λr+1 )αk , k = 1, . . . , r, — нули,
а это невозможно, так как все числа λk − λr+1 , k = 1, . . . , r, отличны
от нуля. ¤
   4.3. Теорема. Всякий оператор A, действующий в комплексном
пространстве Xn , имеет хотя бы один собственный вектор.
   Доказательство. Достаточно убедиться, что существует λ ∈ C
такое, что линейное уравнение
                              (A − λI)x = 0                            (4.5)
имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Фиксируем в простран-
стве Xn некоторый базис En . Пусть Ae — матрица оператора A в этом
базисе. Рассмотрим уравнение
                            det(Ae − λI) = 0.                          (4.6)
Уравнение (4.6) — алгебраическое уравнение порядка n относитель-
но λ и потому имеет n корней λ1 , . . . , λn . Всякий корень уравне-
ния (4.6) — собственное число оператора A. В самом деле,
                             (Ae − λk I)ξ = 0                          (4.7)
есть однородная система уравнений с вырожденной матрицей, следо-
вательно, она имеет нетривиальное решение. Обозначим это решение
через ξ k . Тогда вектор xk = En ξ k , очевидно, будет не равен нулю и
будет решением уравнения (A − λk I)xk = 0. ¤
    Полином det(B − λI) называется характеристическим полино-
мом матрицы B. Корни характеристического полинома называются
характеристическими (собственными) числами матрицы B. Мно-
жество всех характеристических чисел матрицы B называется ее
спектром и обозначается через sp(B). Как установлено в ходе до-
казательства теоремы 4.3, для любого числа λ ∈ sp(B) существует
вектор x ∈ Cn , не равный нулю, и такой, что
                                 Bx = λx.
Вектор x называется собственным вектором матрицы B, соответ-
ствующим характеристическому числу λ этой матрицы.

Страницы