Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы 165
Вычисляя определитель, получим
λ
3
− 5λ
2
+ 17λ − 13 = 0. (4.8)
Очевидно, λ = 1 — корень этого уравнения. Нетрудно проверить, что
λ
3
− 5λ
2
+ 17λ − 13 = (λ − 1)(λ
2
− 4λ + 13).
Корни уравнения λ
2
− 4λ + 13 = 0 есть 2 ± 3i. Таким образом,
λ
1
= 1, λ
2
= 2 + 3i, λ
3
= 2 − 3i
есть собственные числа оператора A.
Координаты собственного вектора, отвечающего λ
1
, есть решение однородной си-
стемы уравнений
3x
1
− 5x
2
+ 7x
3
= 0, (4.9)
x
1
− 5x
2
+ 9x
3
= 0, (4.10)
−4x
1
+ 4x
3
= 0. (4.11)
Определитель
¯
¯
¯
¯
3 −5
1 −5
¯
¯
¯
¯
6= 0. Поэтому ранг матрицы системы уравнений (4.9)– (4.11)
равен двум и, следовательно, эта система уравнений может иметь лишь одно линейно
независимое решение. Положим x
3
= 1 и найдем x
1
, x
2
, решая систему уравнений (4.9)–
(4.10). Получим x
1
= 1, x
2
= 2. Таким образом, вектор (1, 2, 1) — решение системы
уравнений (4.9)–(4.11). Отсюда вытекает, что множество всех собственных векторов,
отвечающих собственному числу λ
1
= 1, есть множество векторов вида c(1, 2, 1), где c —
произвольное комплексное число, не равное нулю.
Координаты собственного вектора, отвечающего λ
2
, есть решение однородной си-
стемы уравнений
(2 − 3i)x
1
− 5x
2
+ 7x
3
= 0, (4.12)
x
1
− (6 + 3i)x
2
+ 9x
3
= 0, (4.13)
−4x
1
+ (3 − 3i)x
3
= 0. (4.14)
Определитель
¯
¯
¯
¯
2 − 3i −5
1 −(6 + 3i)
¯
¯
¯
¯
6= 0. Поэтому координаты собственного вектора най-
дем, решая систему уравнений (4.12)–(4.13) при x
3
= 1. Получим x
1
= (3 − 3i)/4,
x
2
= (5 − 3i)/4. Таким образом, множество всех собственных векторов, отвечающих
собственному числу λ
2
, есть множество векторов вида c(3 −3i, 5 −3i, 4), где c — произ-
вольное комплексное число, не равное нулю.
Совершенно аналогичные вычисления показывают, что множество всех собствен-
ных векторов, отвечающих собственному числу λ
3
, есть множество векторов вида
c(3 + 5i, 5 + 3i, 4), где c — произвольное комплексное число, не равное нулю.
В рассматриваемом примере все собственные числа оператора различны. Соответ-
ствующие им собственные векторы образуют базис пространства C
3
. Это видно и из
того, что определитель
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 1
3 − 3i 5 − 3i 4
3 + 5i 5 + 3i 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
не равен нулю.
В случае, когда характеристический полином имеет кратные кор-
ни, соответствующих им линейно независимых векторов может ока-
заться меньше, чем n, и они не будут базисом пространства X
n
.
§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы                                165


Вычисляя определитель, получим
                                λ3 − 5λ2 + 17λ − 13 = 0.                             (4.8)
Очевидно, λ = 1 — корень этого уравнения. Нетрудно проверить, что
                      λ3 − 5λ2 + 17λ − 13 = (λ − 1)(λ2 − 4λ + 13).
Корни уравнения λ2 − 4λ + 13 = 0 есть 2 ± 3i. Таким образом,
                           λ1 = 1,   λ2 = 2 + 3i,   λ3 = 2 − 3i
есть собственные числа оператора A.
     Координаты собственного вектора, отвечающего λ1 , есть решение однородной си-
стемы уравнений
                                  3x1 − 5x2 + 7x3 = 0,                               (4.9)
                                  x1 − 5x2 + 9x3 = 0,                               (4.10)
                                 −4x1 + 4x3 = 0.                                    (4.11)
              ¯      ¯
              ¯3 −5¯
Определитель ¯¯      ¯ 6= 0. Поэтому ранг матрицы системы уравнений (4.9)– (4.11)
                1 −5¯
равен двум и, следовательно, эта система уравнений может иметь лишь одно линейно
независимое решение. Положим x3 = 1 и найдем x1 , x2 , решая систему уравнений (4.9)–
(4.10). Получим x1 = 1, x2 = 2. Таким образом, вектор (1, 2, 1) — решение системы
уравнений (4.9)–(4.11). Отсюда вытекает, что множество всех собственных векторов,
отвечающих собственному числу λ1 = 1, есть множество векторов вида c(1, 2, 1), где c —
произвольное комплексное число, не равное нулю.
     Координаты собственного вектора, отвечающего λ2 , есть решение однородной си-
стемы уравнений
                                   (2 − 3i)x1 − 5x2 + 7x3 = 0,                      (4.12)
                                   x1 − (6 + 3i)x2 + 9x3 = 0,                       (4.13)
                                 −4x1 + (3 − 3i)x3 = 0.                             (4.14)
                  ¯                 ¯
                  ¯2 − 3i     −5 ¯¯
Определитель ¯¯                       6= 0. Поэтому координаты собственного вектора най-
                     1     −(6 + 3i)¯
дем, решая систему уравнений (4.12)–(4.13) при x3 = 1. Получим x1 = (3 − 3i)/4,
x2 = (5 − 3i)/4. Таким образом, множество всех собственных векторов, отвечающих
собственному числу λ2 , есть множество векторов вида c(3 − 3i, 5 − 3i, 4), где c — произ-
вольное комплексное число, не равное нулю.
     Совершенно аналогичные вычисления показывают, что множество всех собствен-
ных векторов, отвечающих собственному числу λ3 , есть множество векторов вида
c(3 + 5i, 5 + 3i, 4), где c — произвольное комплексное число, не равное нулю.
     В рассматриваемом примере все собственные числа оператора различны. Соответ-
ствующие им собственные векторы образуют базис пространства C3 . Это видно и из
того, что определитель                  ¯                ¯
                                        ¯ 1       2    1 ¯
                                        ¯                ¯
                                        ¯3 − 3i 5 − 3i 4¯
                                        ¯                ¯
                                        ¯3 + 5i 5 + 3i 4¯
не равен нулю.

    В случае, когда характеристический полином имеет кратные кор-
ни, соответствующих им линейно независимых векторов может ока-
заться меньше, чем n, и они не будут базисом пространства Xn .

Страницы