Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

164 Глава 6. Строение линейного оператора
4.4. Теорема. Характеристические полиномы, а, следовательно
и спектры, подобных матриц совпадают.
Доказательство. Пусть T — невырожденная матрица, матри-
ца C = T
−1
BT — подобна матрице B. Тогда
C − λI = T
−1
BT − λI = T
−1
(B − λI)T.
Поскольку det(T
−1
) = 1/ det(T ), то det(C − λI) = det(B − λI). ¤
Матрицы оператора в различных базисах подобны, поэтому ха-
рактеристический полином матрицы оператора и его корни не зависят
от выбора базиса в пространстве X
n
. Характеристический полином
матрицы оператора естественно называть поэтому характеристиче-
ским полиномом оператора.
Характеристические числа матрицы A
e
оператора A называют-
ся характеристическими числами оператора. Они, таким образом,
являются инвариантами оператора.
Множество всех характеристических чисел оператора A (часто
называемое его спектром) будем обозначать через sp(A).
В ходе доказательства теоремы 4.3 было установлено, что, для
оператора, действующего в комплексном пространстве X
n
, понятия
характеристического и собственного числа, фактически, не различа-
ются, и применительно к таким операторам соответствующие терми-
ны используются как синонимы.
Из сказанного выше, очевидно, вытекает, что любой оператор,
действующий в пространстве X
n
, имеет не более чем n различных соб-
ственных чисел λ
k
, причем, если все собственные числа оказываются
различными, то соответствующие им собственные векторы x
k
, линей-
но независимы и, следовательно, образуют базис пространства X
n
.
По построению
Ax
k
= λ
k
x
k
, k = 1, . . . , n,
поэтому матрица оператора A в базисе {x
k
}
n
k=1
— диагональная мат-
рица, по диагонали которой расположены числа λ
k
, k = 1, . . . , n.
Пример. Найдем все собственные числа и собственные векторы оператора A, дей-
ствующего в комплексном пространстве X
3
и заданного в некотором базисе матрицей
4 −5 7
1 −4 9
−4 0 5
.
Характеристическое уравнение имеет вид
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4 −λ −5 7
1 −4 − λ 9
−4 0 5 − λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0.
164                                     Глава 6. Строение линейного оператора


    4.4. Теорема. Характеристические полиномы, а, следовательно
и спектры, подобных матриц совпадают.
   Доказательство. Пусть T — невырожденная матрица, матри-
ца C = T −1 BT — подобна матрице B. Тогда
                C − λI = T −1 BT − λI = T −1 (B − λI)T.
Поскольку det(T −1 ) = 1/ det(T ), то det(C − λI) = det(B − λI). ¤
    Матрицы оператора в различных базисах подобны, поэтому ха-
рактеристический полином матрицы оператора и его корни не зависят
от выбора базиса в пространстве Xn . Характеристический полином
матрицы оператора естественно называть поэтому характеристиче-
ским полиномом оператора.
    Характеристические числа матрицы Ae оператора A называют-
ся характеристическими числами оператора. Они, таким образом,
являются инвариантами оператора.
    Множество всех характеристических чисел оператора A (часто
называемое его спектром) будем обозначать через sp(A).
    В ходе доказательства теоремы 4.3 было установлено, что, для
оператора, действующего в комплексном пространстве Xn , понятия
характеристического и собственного числа, фактически, не различа-
ются, и применительно к таким операторам соответствующие терми-
ны используются как синонимы.
    Из сказанного выше, очевидно, вытекает, что любой оператор,
действующий в пространстве Xn , имеет не более чем n различных соб-
ственных чисел λk , причем, если все собственные числа оказываются
различными, то соответствующие им собственные векторы xk , линей-
но независимы и, следовательно, образуют базис пространства Xn .
По построению
                     Axk = λk xk , k = 1, . . . , n,
поэтому матрица оператора A в базисе {xk }nk=1 — диагональная мат-
рица, по диагонали которой расположены числа λk , k = 1, . . . , n.
    Пример. Найдем все собственные числа и собственные векторы оператора A, дей-
ствующего в комплексном пространстве X3 и заданного в некотором базисе матрицей
                                           
                                   4 −5 7
                                 1 −4 9 .
                                  −4    0 5

Характеристическое уравнение имеет вид
                          ¯                    ¯
                          ¯ 4−λ      −5     7  ¯
                          ¯                    ¯
                          ¯   1    −4 − λ   9 ¯¯ = 0.
                          ¯
                          ¯ −4         0  5 − λ¯

Страницы