Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 167 стр.

166                                       Глава 6. Строение линейного оператора


    Пример. Найдем все собственные числа и собственные векторы оператора A, дей-
ствующего в комплексном пространстве X3 и заданного в некотором базисе матрицей
                                             
                                  2 −1      2
                                5 −3       3 .
                                 −1    0 −2

Характеристическое уравнение есть λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = 0. Корни этого уравнения
λ1 = λ2 = λ3 = −1. Система уравнений для отыскания координат собственного вектора
имеет, следовательно, вид

                                3x1 − x2 + 2x3 = 0,                           (4.15)
                                5x1 − 2x2 + 3x3 = 0,                          (4.16)
                               −x1 − x3 = 0.                                  (4.17)
              ¯       ¯
              ¯3 −1¯
Определитель ¯¯       ¯ не равен нулю. Поэтому ранг матрицы этой системы равен двум,
                5 −2¯
и линейное пространство решений системы (4.15)–(4.17) одномерно. Нетрудно видеть,
что вектор x = (1, 1, −1) — решение системы (4.15)–(4.17). Следовательно, множество
всех собственных векторов матрицы — это множество векторов вида c(1, 1, −1), где c —
произвольное не равное нулю число. Понятно, что собственные векторы матрицы в
рассматриваемом случае не образуют базиса в пространстве C3 .

   В дальнейшем (см. §3–§5) будут указаны классы операторов, для
которых и при наличии кратных характеристических чисел можно
построить базис из собственных векторов.
    Упражнение. Пусть A — оператор, действующий в простран-
стве Xn , L — инвариантное подпространство оператора A. Показать,
что у оператора A есть собственный вектор, принадлежащий L.

     4.5. Пусть теперь оператор A действует в вещественном про-
странстве Xn . Матрица Ae оператора A в любом базисе En веще-
ственна. Уравнение (4.6), т. е. характеристическое уравнение матрицы
Ae , — алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами.
Оно, вообще говоря, имеет как вещественные, так и комплексные кор-
ни.
     Если λ — вещественный корень уравнения (4.6), то система урав-
нений
                             (Ae − λI)ξ = 0                     (4.18)
имеет нетривиальное вещественное решение ξ и для вектора x = E n ξ
выполнено равенство Ax = λx, т. е. x— собственный вектор опера-
тора A. Таким образом, все вещественные характеристические числа
матрицы Ae — собственные числа оператора A.
   Если число λ не совпадает ни с одним из вещественных корней
уравнения (4.6), то система уравнений (4.18) не может иметь нетри-
виальных вещественных решений.