Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

168 Глава 6. Строение линейного оператора
4.6. Инварианты оператора. Характеристический полином мат-
рицы A
e
оператора A с точностью до знака совпадает с det(λI −A
e
).
Записывая этот определитель в виде разложения по степеням λ, по-
лучим
det(λI − A
e
) = P
n
(λ) = λ
n
+ a
n−1
λ
n−1
+ ··· + a
0
. (4.22)
Как уже отмечалось, коэффициенты полинома P
n
являются инва-
риантами оператора A. Все они определенным образом выражаются
через элементы матрицы оператора, но при этом важно помнить, что
никакое преобразование базиса их не меняет. Укажем явные выраже-
ния лишь для двух коэффициентов:
a
n−1
= −(a
e
11
+ a
e
22
+ ··· + a
e
nn
), a
0
= (−1)
n
det A
e
. (4.23)
Напомним, что по теореме Вьета (см. с. 18)
a
e
11
+ a
e
22
+ ···+ a
e
nn
= λ
1
+ λ
2
+ ···+ λ
n
, det A
e
= λ
1
λ
2
···λ
n
, (4.24)
где λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— характеристические числа оператора A.
Величину a
e
11
+ a
e
22
+ ··· + a
e
nn
называют следом оператора A и
обозначают через tr(A). Отметим следующие полезные формулы:
tr(αA + βB) = α tr(A) + β tr(B), tr(AB) = tr(BA). (4.25)
Здесь A, B — произвольные линейные операторы, действующие в ко-
нечномерном линейном пространстве, α, β — произвольные числа.
Первое равенство (4.25) непосредственно следует из определения сле-
да оператора. Второе может быть легко проверено переходом к мат-
рицам операторов и прямыми вычислениями величин, записанных в
его правой и левой частях.
§ 2. Треугольная форма
1. Теорема. Для любого оператора A, действующего в ком-
плексном евклидовом пространстве X
n
, можно указать такой ор-
тонормированный базис, что матрица оператора A в этом базисе
треугольна, причем по ее диагонали расположены все собственные
числа оператора A.
В основе доказательства этого утверждения лежит
168                                          Глава 6. Строение линейного оператора


   4.6. Инварианты оператора. Характеристический полином мат-
рицы Ae оператора A с точностью до знака совпадает с det(λI − Ae ).
Записывая этот определитель в виде разложения по степеням λ, по-
лучим
         det(λI − Ae ) = Pn (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a0 .                  (4.22)
Как уже отмечалось, коэффициенты полинома Pn являются инва-
риантами оператора A. Все они определенным образом выражаются
через элементы матрицы оператора, но при этом важно помнить, что
никакое преобразование базиса их не меняет. Укажем явные выраже-
ния лишь для двух коэффициентов:
        an−1 = −(ae11 + ae22 + · · · + aenn ),     a0 = (−1)n det Ae .           (4.23)
Напомним, что по теореме Вьета (см. с. 18)
 ae11 + ae22 + · · · + aenn = λ1 + λ2 + · · · + λn ,    det Ae = λ1 λ2 · · · λn , (4.24)
где λ1 , λ2 , . . . , λn — характеристические числа оператора A.
    Величину ae11 + ae22 + · · · + aenn называют следом оператора A и
обозначают через tr(A). Отметим следующие полезные формулы:
       tr(αA + βB) = α tr(A) + β tr(B),                tr(AB) = tr(BA).          (4.25)
Здесь A, B — произвольные линейные операторы, действующие в ко-
нечномерном линейном пространстве, α, β — произвольные числа.
Первое равенство (4.25) непосредственно следует из определения сле-
да оператора. Второе может быть легко проверено переходом к мат-
рицам операторов и прямыми вычислениями величин, записанных в
его правой и левой частях.

                          § 2. Треугольная форма

   1. Теорема. Для любого оператора A, действующего в ком-
плексном евклидовом пространстве Xn , можно указать такой ор-
тонормированный базис, что матрица оператора A в этом базисе
треугольна, причем по ее диагонали расположены все собственные
числа оператора A.
      В основе доказательства этого утверждения лежит

Страницы